Презентація на тему пенроуза мозаїка. Мозаїка пенроуза та стародавні ісламські візерунки Симетрична мозаїка

Мозаїка Пенроуза, плитки Пенроуза - неперіодичне розбиття площини, аперіодичні регулярні структури, замощення площини ромбами двох типів - з кутами 72 ° і 108 ° («товсті ромби») і 36 ° і 144 ° («тонкі ромби»), такими ( «золотого перерізу»), що будь-які два сусідні (тобто мають спільну сторону) ромба не утворюють разом паралелограм.Названа на честь Роджера Пенроуза, який цікавився проблемою «замощення», тобто заповнення площини фігурами однієї форми без зазорів та перекривань.

Усі такі замощення неперіодичні і локально ізоморфні один одному (тобто будь-який кінцевий фрагмент однієї мозаїки Пенроуза зустрічається у будь-якій іншій). «Самоподібність» - можна об'єднати сусідні плитки мозаїки, щоб знову вийшла мозаїка Пенроуза.

Декілька відрізків можна намалювати на кожній з двох плиток так, що при викладанні мозаїки кінці цих відрізків поєднаються і на площині утворюються кілька сімейств паралельних прямих ліній (смуги Аммана).

Відстані між сусідніми паралельними прямими приймають рівно два різні значення (а для кожного сімейства паралельних прямих послідовність цих значень має самоподібність).

Мозаїки Пенроуза, що мають дірки, покривають всю площину, крім фігури кінцевої площі. Збільшити дірку, знявши кілька (кінцеве число) плиток, після чого замостити непокриту частину повністю, не можна.

Завдання вирішується замощенням фігурами, що створюють малюнок, що періодично повторюється, але Пенроуз хотів відшукати саме таку фігуру, яка при замощенні площини не створювала б повторюваних візерунків. Вважалося, що немає таких плиток, з яких будувалися лише неперіодичні мозаїки. Пенроуз підбирав безліч плиток різної форми, в результаті їх виявилося лише 2, що мають «золотий перетин», що лежить в основі всіх гармонійних співвідношень. Це фігури ромбовидної форми з кутами 108 і 72 °. Пізніше фігури спростилися до форми просто ромба (36 і 144), в основі лежить принцип «золотого трикутника».

Візерунки, що виходять, мають квазікристалічну форму, яка має осьову симетрію 5-го порядку. Структура мозаїки пов'язана із послідовністю Фібоначчі.
( Вікіпедія)

Мозаїка Пенроуз. Білою точкою відзначений центр поворотної симетрії 5-го порядку: поворот навколо неї на 72 ° переводить мозаїку саму себе.

Ланцюжки та мозаїки (журнал Наука та життя, 2005 №10)

Спочатку розглянемо таку ідеалізовану модель. Нехай у рівноважному стані частинки розташовані вздовж осі перенесення z і утворюють лінійний ланцюжок із змінним періодом, що змінюється за законом геометричної прогресії:

аn = a1 · Dn-1,

де a1 – початковий період між частинками, n – порядковий номер періоду, n = 1, 2, …, D = (1 + √5)/2 = 1,6180339… – число золотої пропорції.

Побудований ланцюжок частинок є прикладом одномірного квазікристалу з далеким порядком симетрії. Структура абсолютно впорядкована, спостерігається систематичність розташування частинок на осі - їх координати визначаються одним законом. Разом про те немає повторюваності - періоди між частками різні і постійно зростають. Тому отримана одновимірна структура не має трансляційної симетрії, і викликано це не хаотичним розташуванням частинок (як в аморфних структурах), а ірраціональним ставленням двох сусідніх періодів (D - ірраціональне число).

Логічним продовженням розглянутої одновимірної структури квазікристалу служить двомірна структура, яку можна описати методом побудови неперіодичних мозаїк (візерувань), що складаються з двох різних елементів, двох елементарних осередків. Таку мозаїку розробив 1974 року фізик-теоретик з Оксфордського університету Р. Пенроуз.Він знайшов мозаїку з двох ромбів із рівними сторонами. Внутрішні кути вузького ромба дорівнюють 36 ° і 144 °, широкого ромба - 72 ° і 108 °.

Кути цих ромбів пов'язані із золотою пропорцією, яка алгебраїчно виражається рівнянням х2 - х - 1 = 0 або рівнянням у2 + у - 1 = 0. Коріння цих квадратних рівнянь можна записати в тригонометричному вигляді:

x1 = 2cos36 °, x2 = 2cos108 °,
y1 = 2cos72 °, y2 = cos144 °.

Такий нетрадиційний вид уявлення коренів рівнянь показує, що це ромби можна назвати вузьким і широким золотими ромбами.

У мозаїці Пенроуза площина закривається золотими ромбами без перепусток і перекриттів, і її можна безмежно розстелити в довжину та ширину. Але для побудови нескінченної мозаїки треба дотримуватися певних правил, що істотно відрізняються від одноманітного повторення однакових елементарних осередків, що становлять кристал. Якщо правило припасування золотих ромбів порушити, то через деякий час зростання мозаїки припиниться, оскільки з'являться непереборні неузгодження.

У нескінченній мозаїці Пенроуза золоті ромби розташовуються без періодичності. Однак відношення числа широких золотих ромбів до вузьких золотих ромбів точно дорівнює золотому числу D = (1 + √5) / 2 = = 1,6180339. Оскільки число D ірраціональне, у подібній мозаїці не можна виділити елементарну комірку з цілим числом ромбів кожного виду, трансляцією якої можна було б отримати всю мозаїку.

Мозаїка Пенроуза має свою особливу красу і як об'єкт цікавої математики. Не вдаючись у всі аспекти цього питання, зазначимо, що навіть перший крок – побудова мозаїки – досить цікавий, оскільки потребує уваги, терпіння та певної кмітливості. А вже масу вигадки та фантазії можна виявити, якщо зробити мозаїку різнобарвною. Забарвлення, що перетворюється відразу на гру, можна виконати численними оригінальними способами, варіанти яких представлені на малюнках (внизу). Білою точкою відзначено центр мозаїки, поворот навколо якого на 72 ° переводить її саму в себе.

Мозаїка Пенроуза - чудовий приклад того, як гарна побудова, що знаходиться на стику різних дисциплін, обов'язково знаходить застосування. Якщо вузлові точки замінити атомами, мозаїка Пенроуза стане добрим аналогом двовимірного квазікристалу, оскільки має багато властивостей, характерних для такого стану речовини. І ось чому.

По-перше, побудова мозаїки реалізується за певним алгоритмом, унаслідок чого вона виявляється не випадковою, а впорядкованою структурою. Кожна її кінцева частина зустрічається у всій мозаїці безліч разів.

По-друге, у мозаїці можна виділити багато правильних десятикутників, що мають абсолютно однакові орієнтації. Вони створюють далекий орієнтаційний порядок, названий квазіперіодичним. Це означає, що між віддаленими структурами мозаїки існує взаємодія, яка узгоджує розташування та відносну орієнтацію ромбів цілком певним, хоч і неоднозначним способом.

По-третє, якщо послідовно зафарбувати всі ромби зі сторонами, паралельними якомусь обраному напрямку, вони утворюють серію ламаних ліній. Уздовж цих ламаних ліній можна провести прямі паралельні лінії, що віддаляються один від одного приблизно на однаковій відстані. Завдяки цій властивості можна говорити про деяку трансляційну симетрію у мозаїці Пенроуза.

По-четверте, послідовно зафарбовані ромби утворюють п'ять сімейств подібних паралельних ліній, що перетинаються під кутами, кратними 72°. Напрями цих ламаних ліній відповідають напрямкам сторін правильного п'ятикутника. Тому мозаїка Пенроуза має певною мірою поворотну симетрію 5-го порядку і в цьому сенсі подібна до квазікристалу.

У 1973 році англійський математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) створив особливу мозаїку з геометричних фігур, яка так і стала називатися мозаїкою Пенроуза.
Мозаїка Пенроуза є візерунком, зібраним з багатокутних плиток двох певних форм (трохи різняться ромбів). Ними можна замостити нескінченну площину без пробілів.

Мозаїка Пенроуза у версії її автора.
Вона зібрана з ромбів двох типів,
один – з кутом 72 градуси, інший – з кутом 36 градусів.
Картина виходить симетрична, але з періодична.

Зображення виглядає так, ніби є якимось "ритмічним" орнаментом - картинкою, що володіє трансляційною симетрією. Такий тип симетрії означає, що у візерунку можна вибрати певний шматочок, який можна копіювати на площині, а потім поєднувати ці дублікати один з одним паралельним переносом (простіше кажучи, без повороту і без збільшення).

Проте, якщо придивитися, можна побачити, що у візерунку Пенроуза немає таких повторюваних структур – він апериодичен. Але справа аж ніяк не в оптичному обмані, а в тому, що мозаїка не хаотична: вона має обертальну симетрію п'ятого порядку.

Це означає, що зображення можна повертати на мінімальний кут, рівний 360 / n градусів, де n - порядок симетрії, в даному випадку n = 5. Отже, кут повороту, який нічого не змінює, повинен бути кратний 360 / 5 = 72 градусів.

Приблизно десятиліття вигадка Пенроуза вважалася лише милою математичної абстракцією. Однак у 1984 році Ден Шехтман (Dan Shechtman), професор ізраїльського технологічного інституту (Technion), займаючись вивченням будови алюмінієво-магнієвого сплаву, виявив, що на атомних гратах цієї речовини відбувається дифракція.

Попередні уявлення, що існували у фізиці твердого тіла, виключали таку можливість: структура дифракційної картини має симетрію п'ятого порядку. Її частини не можна поєднувати паралельним переносом, отже, це зовсім не кристал. Але дифракція характерна саме для кристалічних ґрат! Вчені домовилися про те, що цей варіант буде назватися квазікристалами - чимось на кшталт особливого стану речовини. Ну а вся краса відкриття у тому, що для нього вже давно була готова математична модель – мозаїка Пенроуза.

А зовсім недавно стало зрозуміло, що цієї математичної конструкції набагато більше років, ніж можна було собі уявити. У 2007 році Пітер Лу (Peter J. Lu), фізик з Гарварда (Harvard University) за компанію з іншим фізиком - Полом Стейнхардтом (Paul J. Steinhardt), але з Прінстона (Princeton University), - опублікував у Science статтю, присвячену мозаїкам Пенроуза. Здавалося б, несподіваного тут небагато: відкриття квазікристалів залучило живий інтерес до цієї теми, що призвело до появи купи публікацій у науковій пресі.

Однак особливість роботи в тому, що вона присвячена далеко не сучасній науці. Та й взагалі – не науці. Пітер Лу звернув увагу на візерунки, що покривають мечеті в Азії, побудовані ще в Середньовіччі. Ці легко відомі малюнки зроблені з мозаїчної плитки. Вони називаються гіріхи (від арабського слова "вузол") і є геометричним орнаментом, характерним для ісламського мистецтва і що складається з багатокутних фігур.

Зразок викладки плитки показаний в арабському манускрипті XV століття.
Квітами дослідники виділили повторювані області.
На основі цих п'яти елементів збудовані всі геометричні візерунки
середньовічних арабських майстрів. Повторювані елементи
не обов'язково збігаються з межами плиток.

В ісламському орнаменті виділяють два стилі: геометричний - гиріх, і рослинний - ісламі.
Гіріх(перс.) – складний геометричний орнамент, складений із стилізованих у прямокутні та полігональні фігури ліній. У більшості випадків використовується для зовнішнього оформлення мечетей та книг у великому виданні.
Іслімі(перс.) – вид орнаменту, побудованого на поєднанні берізки та спіралі. Втілює в стилізованій або натуралістичній формі ідею квітучої листяної втечі, що безперервно розвивається, і включає в себе нескінченну різноманітність варіантів. Найбільшого поширення він набув в одязі, книгах, внутрішній обробці мечетей, посуді.

Обкладинка Корану 1306-1315 років та промальовування геометричних фрагментів,
на яких ґрунтується візерунок. Цей та наступний приклади не відповідають
ґратами Пенроуза, але мають обертальну симетрію п'ятого порядку

До відкриття Пітера Лу вважалося, що стародавні архітектори створювали візерунки гіріха за допомогою лінійки та циркуля (якщо взагалі не по наїті). Однак кілька років тому, перебуваючи під час подорожі в Узбекистані, Лу зацікавився візерунками мозаїк, які прикрашали місцеву середньовічну архітектуру, і помітив щось знайоме. Повернувшись до Гарварду, учений став розглядати аналогічні мотиви у мозаїках на стінах середньовічних споруд Афганістану, Ірану, Іраку та Туреччини.

Цей зразок датований пізнішим періодом – 1622 (індійська мечеть).
Дивлячись на нього і промальовування його структури, не можна не захопитися працьовитістю
дослідників. І, звичайно, самих майстрів.

Пітер Лу виявив, що геометричні схеми гіріхів практично однакові, і зміг виділити основні елементи, що використовуються у всіх геометричних орнаментах. Крім того, він знайшов креслення цих зображень у старовинних манускриптах, якими древні художники користувалися своєрідною шпаргалкою для прикраси стін.
Для створення цих візерунків застосовували не прості, випадково вигадані контури, а фігури, які були розташовані у певному порядку. Стародавні візерунки виявились точними побудовами мозаїк Пенроуза!

На цих знімках виділені однакові області,
хоча це і фотографії з різних мечетей

В ісламській традиції існувала сувора заборона на зображення людей та тварин, тому в оформленні будівель велику популярність набув геометричний орнамент. Середньовічні майстри примудрялися якось робити його різноманітним. Але в чому був секрет їхньої "стратегії" - ніхто не знав. Так ось, секрет виявляється у використанні спеціальних мозаїк, які можуть, залишаючись симетричними, заповнювати площину, не повторюючись.

Інший " фокус " цих зображень у цьому, що, " копіюючи " такі схеми у різних храмах за кресленнями, художники неминуче мали б допустити спотворення. Але порушення цього характеру мінімальні. Пояснюється лише тим, що у масштабних кресленнях сенсу була: головне – принцип, яким будувати картину.

Для складання гірихів застосовували плитки п'яти видів (десяти- та п'ятикутні ромби та "метелики"), які в мозаїці складалися, прилягаючи один до одного без вільного простору між ними. Мозаїки створені з них, могли мати як відразу обертальну і трансляційну симетрію, так і тільки обертальну симетрію п'ятого порядку (тобто були мозаїками Пенроуза).

Фрагмент орнаменту іранського мавзолею 1304 року. Праворуч – реконструкція гірихів

Дослідивши сотні фотографій середньовічних мусульманських пам'яток Лу зі Стейнхардтом змогли датувати появу подібної тенденції XIII століттям. Поступово цей спосіб набував все більшої популярності і до XV століття став широко поширеним. Датування приблизно збігається з періодом розвитку техніки декорування палаців, мечетей, різних важливих будівель глазурованою кольоровою керамічною плиткою у формі різних багатокутників. Тобто керамічну плитку спеціальних форм створювали саме для гірихів.

Зразком майже ідеальної квазікристалічної структури дослідники визнали святилище імама Дарб-і в іранському місті Ісфахані, датоване 1453 роком.

Портал святилища імама Дарб-і в Ісфахані (Іран).
Тут одна на одну накладено відразу дві системи гірихів.

Колона внутрішнього двору мечеті у Туреччині (близько 1200 року)
і стіни медресе в Ірані (1219). Це ранні твори,
і в них використовується всього два структурні елементи, знайдених Лу

Тепер залишається знайти відповіді на низку загадок в історії гіриха та мозаїк Пенроуза. Як і для чого давні математики відкрили квазікристалічні структури? Чи надавали середньовічні араби мозаїкам якийсь інший зміст, крім художнього? Чому така цікава математична концепція була забута на півтисячоліття? І найцікавіше – які ще сучасні відкриття є новим, яке насправді – добре забуте старе?

Про існування мозаїки Пенроузазнає далеко не кожен, а тим більше, що ця дивовижна мозаїка іноді знаходиться буквально під ногами.
Коли ми з чоловіком гостимо в сім'ї сина у Фінляндії, звичайно ж, гуляємо затишним і доглянутим містом Гельсінкі. До програми нашого перебування обов'язково включається відвідування магазину Академічної книги Akateeminen Kirjakauppa, розташованого в центрі на вулиці Keskuskatu, що означає Центральна вулиця. Відвідування цієї книгарні приносить нам естетичне задоволення і, хоча книги у Фінляндії коштують дорого, завжди хочеться купити хоч невелику красиво ілюстровану книжечку про квіти та рослини.
Якось син, математик за фахом, порадив нам під час прогулянки цією пішохідною вулицею уважно розглянути мощення поверхні плитками. Він пояснив, що це мозаїка Пенроуза.

Всі ми, зрозуміло, бачили кахельну плитку. Найчастіше вона буває квадратною формою. З плиток викладають різні чудові візерунки.

Іноді використовують плитки різних форм та розмірів, але загальний вигляд покриття поверхні все одно квадратний.

Іноді плитки укладають зі зсувом або використовують неквадратні плитки.

Але всі ці візерунки все одно складаються з частин, що повторюються

На вулиці Keskuskatu в Гельсінкі плитки укладені так, що візерунок не повторюється.

До 1964 р. ніхто не вірив, що можна вигадати такий набір плиток, якими можна замостити площину, не повторюючи візерунка.
У 1964 р. математик Robert Berger вигадав такий набір. На жаль, у цьому наборі було 20426 плиток різних форм та розмірів.
Майже відразу ж він придумав, як зменшити кількість різних плиток у наборі до 104 видів.
В 1968 знаменитий математик Donald Knuth зменшив кількість різних плиток до 92.

У 1971 році Raphael Robinson придумав такий набір лише з шести плиток, якими можна замостити площину без повторень. Але навряд чи ви захочете використовувати їх у вашій ванній кімнаті.

У 1973 році англійський математик Roger Penrose придумав набір із шести красивих плиток. Якщо покрити цими плитками навіть дуже велику підлогу, візерунок не повториться.

Справжня популярність прийшла до Roger Penrose, коли він виявив, що достатньо всього двох типів плиток, щоб створити неповторний візерунок. Ці плитки є геометричні фігури - ромби, дещо відрізняються один від одного.
Це фотографія математика Roger Penrose на тлі поверхні, вкритої неповторним візерунком.
Замощення площини неповторним орнаментомз плиток тепер називають мозаїкою Пенроуза.

Отримане замощення має такий вигляд, ніби мозаїка має певну властивість симетрії, коли деяку частину геометричного візерунка можна переносити паралельно, не повертаючи, і частини поєднувати один з одним.

Насправді ж при уважному розгляді мозаїки Пенроуза можна побачити, що візерунок немає періодичності, водночас візерунок є хаотичним. Симетрія геометричного візерунка Пенроуза називається обертальною, а строго математично п'ятого порядку.

Протягом приблизно десяти років математичний винахід Roger Penrose не мав прикладного значення і був відомий переважно математикам. Але ізраїльський професор Dan Shechtman у 1984 році, який вивчає фізику твердого тіла, виявив дифракцію того самого п'ятого порядку на атомних ґратах алюмінієво-магнієвого сплаву. Під час обговорення цього явища вчені прийняли як математичну модель вже відому мозаїку Пенроуза.

Надалі з'ясувалося, що покриття поверхні геометричними фігурами без проміжків чи накладень друг на друга широко застосовувалося в ісламському мистецтві ще середньовіччі. В Азії мозаїчними геометричними орнаментами покривали мечеті. У старовинних манускриптах знайдено схеми, що свідчать про те, що візерунки, що прикрашають стіни, не є хаотичними, а складаються з певних фігур, які розташовані в строгому порядку. Оскільки ісламське мистецтво було під забороною зображення тварин чи людини, то давні майстри прикрашали храми геометричними орнаментами.
Викликає захоплення і здивування велику різноманітність орнаментів, що неповторюються. Причина полягає саме в тому, що використовувалися спеціальні види мозаїки, багато з яких мали ту саму обертальну симетрію п'ятого порядку, і фактично були мозаїками Пенроуза. Можна припустити, що роль математики була дуже важливою в середньовічному мистецтві Ісламу.

Нижче я пропоную для перегляду фотографії плиткового покриття мозаїкою Пенроузапішохідна вулиця Keskuskatu в Гельсінкі. Поверхня покрита плитками без проміжків чи накладень, причому візерунок ніде не повторюється.

Слайд 1

І стародавні ісламські візерунки

Мозаїка Пенроуза

Презентацію виконала учениця 7Б класу ЦО №1679 Жердер Маріна. Керівники проекту Синюкова О.В. та Жердер В.М.

Слайд 2

Що таке мозаїка

Мозаїка є візерунком, зібраним з плиток різних форм. Ними можна замостити нескінченну площину без пробілів.

Слайд 3

Періодична мозаїка це мозаїка, малюнок якої повторюється через рівні проміжки. Неперіодична мозаїка це мозаїка, малюнок якої може повторюватися через нерівні проміжки.

Слайд 4

Мозаїки у природі

У природі також багато прикладів періодичної мозаїки. В основному це кристали твердих речовин - наприклад: Кристал солі Кристал алмазу Кристал графіту Кристал графена

Слайд 5

Мозаїки у картинах Ешера

Мозаїки – важлива тема у мистецтві. Художник М.К.Эшер відомий своїми мозаїками і реальними картинами.

Слайд 6

Що таке мозаїка Пенроуза?

У 1973 році англійський математик Роджер Пенроуз (Roger Penrose) створив особливу мозаїку з геометричних фігур, яка так і стала називатися мозаїкою Пенроуза.

Слайд 7

Багатокутні плити мозаїки

Мозаїка Пенроуза є мозаїкою, зібраною з багатокутних плиток двох певних форм.

Слайд 8

Симетрія мозаїки

Зображення виглядає так, ніби є якимось "ритмічним" орнаментом - картинкою, що володіє трансляційною симетрією.

Слайд 9

Симетрія

Трансляційна симетрія означає, що у візерунку можна вибрати певний шматочок, який можна копіювати на площині, а потім поєднувати ці дублікати один з одним паралельним переносом.

Слайд 10

Структура Мозаїк

Однак, якщо придивитися, можна побачити, що у візерунку Пенроуза немає таких структур, що повторюються - він неперіодичний. Але справа аж ніяк не в оптичному обмані, а в тому, що мозаїка не хаотична: вона має обертальну симетрію п'ятого порядку.

Слайд 11

Мінімальний кут

Це означає, що зображення можна повертати на мінімальний кут, рівний 360 / n градусів, де n - порядок симетрії, в даному випадку n = 5. Отже, кут повороту, який нічого не змінює, повинен бути кратний 360 / 5 = 72 градусів.

Слайд 12

Незвичайне явище

У 1984 році Ден Шехтман займаючись вивченням будови алюмінієво-магнієвого сплаву, виявив, що на атомних гратах цієї речовини відбувається незвичайне для кристалів фізичне явище.

Слайд 13

«Неправильні» кристали

Зразок речовини, підданий спеціальному методу швидкого охолодження, розсіював пучок електронів так, що на фотопластинці утворювалася яскраво виражена дифракційна картина з симетрією п'ятого порядку розташування дифракційних максимумів (симетрія ікосаедра).

Слайд 14

Квазікристали

Вчені домовилися про те, що цей варіант буде назватися квазікристалами - чимось на кшталт особливого стану речовини. І йому вже давно була готова математична модель - мозаїка Пенроуза.

Слайд 15

У 2007 році фізики Пітер Лу і Пол Стейнхардт опублікували в журналі Science статтю, присвячену мозаїкам Пенроуза.

Публікація 2007 року

Слайд 16

Інтерес до квазікристалів

Здавалося б, несподіваного тут небагато: відкриття квазікристалів залучило живий інтерес до цієї теми, що призвело до появи купи публікацій у науковій пресі.

Слайд 17

Візерунки в Азії

Однак особливість роботи в тому, що вона присвячена далеко не сучасній науці. Та й взагалі – не науці. Пітер Лу звернув увагу на візерунки, що покривають мечеті в Азії, побудовані ще в Середньовіччі.

Слайд 18

В ісламському орнаменті виділяють два стилі: Гірих (перс.) – складний геометричний орнамент, складений із стилізованих у прямокутні та полігональні фігури ліній. У більшості випадків використовується для зовнішнього оформлення мечетей та книг у великому виданні.

Стилі. Гіріх

Слайд 19

Іслімі (перс.) – вид орнаменту, побудованого на поєднанні берізки та спіралі. Втілює в стилізованій або натуралістичній формі ідею квітучого листяного втечі, що безперервно розвивається. Найбільшого поширення він набув в одязі, книгах, внутрішній обробці мечетей, посуді.

Слайд 20

Мозаїки Узбекистану

Перебуваючи під час подорожі в Узбекистані, Лу зацікавився візерунками мозаїк, які прикрашали місцеву середньовічну архітектуру, і помітив щось знайоме.

Обкладинка Корану 1306-1315 років та промальовування геометричних фрагментів, на яких заснований візерунок.

Слайд 21

Мозаїки різних країн

Повернувшись до Гарварду, учений став розглядати аналогічні мотиви у мозаїках на стінах середньовічних споруд Афганістану, Ірану, Іраку та Туреччини.

Слайд 23

Схеми гірихів

Пітер Лу виявив, що геометричні схеми гіріхів практично однакові, і зміг виділити основні елементи, що використовуються у всіх геометричних орнаментах. Крім того, він знайшов креслення цих зображень у старовинних манускриптах, якими древні художники користувалися своєрідною шпаргалкою для прикраси стін.

Слайд 24

Порядок побудови

Для створення цих візерунків застосовували не прості, випадково вигадані контури, а фігури, які були розташовані у певному порядку. Стародавні візерунки виявились точними побудовами мозаїк Пенроуза!

Слайд 25

В ісламській традиції існувала сувора заборона на зображення людей та тварин, тому в оформленні будівель велику популярність набув геометричний орнамент.

Ісламські традиції

Слайд 26

Секрет стародавніх майстрів

Середньовічні майстри робили його різноманітним. Але в чому був секрет їхньої "стратегії" - ніхто не знав. Так ось, секрет виявляється у використанні спеціальних мозаїк, які можуть, залишаючись симетричними, заповнювати площину, не повторюючись.

Алгоритм побудови мозаїк Пенроуза – моделі та квазікристали

Студент
Володимирський державний університет імені

А. Р. і, Педагогічний інститут,
фізико-математичний факультет , Володимир, Росія
E-mail:*****@***com

Квазікристали є порівняно недавно відкритим видом твердих тіл, проміжним між кристалами і аморфними тілами. Їх виникнення пов'язане з експериментально виявленими у 1982 р. речовинами, що дають дифракційну картину з функціональними бреггівськими піками, та симетрією, не сумісною з трансляційними гратами. За їх відкриття ізраїльський фізик та хімік Дан Шехтман у 2011 році отримав нобелівську премію.

Як математичні моделі квазікристалів зазвичай виступають неперіодичні точкові системи, що володіють далеким порядком. Такі математичні квазікристали, на відміну від фізичних, можуть бути визначені у будь-якій розмірності.

Двовимірною моделлю квазікристалу є мозаїка Пенроуза, яка вивчалася математиками ще до відкриття квазікристалів. Мозаїка Пенроуза не є періодичним розбиттям, тому що не переходить у себе жодними паралельними переносами – трансляціями. Однак у ній існує суворий порядок, який визначається алгоритмом побудови цього розбиття.

Існує безліч підходів до визначення математичних квазікристалів. Найбільш відомим є підхід, заснований на проектуванні грат із просторів вищої розмірності в меншу розмірність, який отримав назву “model sets”. Стосовно мозаїки Пенроуза цей підхід називається методом Баакі.

Даний метод найбільш зручний для вивчення та аналізу дифракційної картини квазікристалів як з теоретичної точки зору, так і з погляду комп'ютерних алгоритмів. На основі даного аналізу можна робити наступні висновки про властивості квазікристалів.

Для аналізу властивостей мозаїки Пенроуза нами була написана комп'ютерна програма за алгоритмом Баакі, згідно з яким визначаються вікно https://pandia.ru/text/79/142/images/image002_56.gif" width="51 ".gif" width="104" height="24">, де .

Множини , , , , , , де - золотий перетин. : і де width="22">..gif". Вершини з'єднані ребром тоді, коли відстань між ними дорівнює 1. Таким чином будується мозаїка Пенроуза за наведеним вище алгоритмом.

Нами виявлено, що метод Бааки не зовсім точний і отримане розбиття не є точно розбиттям Пенроуза, так як з'являються «зайві» вершини та ребра розбиття. Виявилося, що ця конструкція вірна з точністю до вершин і меж п'ятикутників.

За допомогою комп'ютерного експерименту вдалося отримати уточнення методу Баакі, внаслідок чого вийшла мозаїка Пенроуза (рис.1):

Рис.1 Мозаїка Пенроуза, отримана за допомогою модифікації алгоритму Баакі

Описаний вище спосіб побудови мозаїки Пенроуза називають слабкою параметризацією мозаїки Пенроуза.

Існує й інший спосіб побудови - сильна параметризація вершин розбиття, де можна отримувати параметри сусідніх вершин за параметром цієї вершини. Усі безліч параметрів розбивається на багатокутники, у кожному з яких однозначно визначено перше локальне оточення точки, і навіть зірка, що з векторів, що з'єднують точку з сусідніми точками.