Преди това, както разбираме създаването на вектора, отиваме към хранителната ориентация на подреденото трио от вектори a → , b → , c → в тривиалното пространство.

Събираме векторите a → , b → , c → като една точка. Ориентацията на триадата a → , b → , c → е дясна или лява, в съответствие с посоката на самия вектор c → . Освен това, в коя посока има най-кратък завой от вектор a → към b → от края на вектор c → ще се определи вида на триадата a → , b → , c →.

Ако най-краткото въртене се случи срещу стрелката за годината, тогава триото от вектори a → , b → , c → се нарича точно, точно зад юбилейната стрелка - Леви.

След това вземаме два неколинеарни вектора a → и b → . След това добавяме векторите AB → = a → и A C → = b → от точка A. Да приемем, че векторът A D → = c → е перпендикулярен на і A B → і A C → . Така, когато бъдем подканени от самия вектор A D → = c → можем да го намерим независимо, като го питаме директно или по друг начин (вижте илюстрацията).

Трите вектора a → , b → , c → могат да бъдат подредени, както обяснихме с дясната и лявата страна в съответствие с посоката на вектора.

С гореспоменатото можем да въведем значението на създаването на вектор. Тази стойност е дадена за два вектора, присвоени на правоъгълна координатна система на тривиално пространство.

Определение 1

Създаване на вектор от два вектора a → и b → Ние наричаме такъв вектор от задачи в праволинейната координатна система на тривиалното пространство, така че:

• Ако векторите a → и b → колинеарни, те ще бъдат нула;
• Той ще бъде перпендикулярен на вектор a → и вектор b → еднакви. ∠ a → c → ∠ b → c → = π 2 ;
• Този довжин се определя по формулата: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b →;
• Тройката от вектори a → , b → , c → има същата ориентация, както е зададена координатната система.

Векторното събиране на вектори a → и b → има същото значение: a → × b → .

Координати на векторно изкуство

Ако някой вектор съдържа конкретни координати в координатната система, можете да въведете друга стойност за създаване на вектор, която ви позволява да намерите неговите координати извън дадените координати на векторите.

Вицения 2

В правоъгълна координатна система на тривиално пространство векторно създаване на два вектора a → = (a x ; a y ; a z) і b → = (b x ; b y ; b z) наричаме вектора c → = a → × b → = (ay bz - az от) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax от - ay bx) k → , където i → j → k → є координатни вектори.

Векторно тяло може да бъде представено като производна от трети ред на квадратна матрица, като първият ред е ori векторите i → , j → , k → , другият ред съдържа координатите на вектор a → , а третият ред съдържа координати на вектор b → при дадена правоъгълна координатна система, да, ниският знак на матрицата изглежда така: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

След разбиването на първия ред за елементите на първия ред, ревността се премахва: j → k → axayazbxbybz = ayazbybz · i → - axazbxbz · j → + axaybxby · k → = = a → × b → = (ay · bz - az · от) i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · от - ay · bx) · k →

Силата на векторното изкуство

Изглежда, че векторното тяло в координати е представено като първичната матрица c → = a → × b → = i → авторитети на лидера на матрицатаизглежда така мощност на векторно създаване:

1. антикомутативност a → × b → = - b → × a →;
2. дистрибутивност a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → или a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. асоциативност λ · a → × b → = λ · a → × b → или a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , където λ е по-ефективно число.

Тези авторитети се задават със сложни доказателства.

Например, можем да въведем силата на антикомутативността в създаването на вектори.

Доказателство за антикомутативност

За значенията a → x b → = i → j → k → a x a y z b x b y b z і b → x a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . И ако два реда на матрицата са пренаредени, тогава стойностите на първичната матрица могат да се променят отстрани, така че a → x b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a → и донесе антикомутативно векторно изкуство.

Vector tvir – приложение и решение

Най-често има три вида поръчки.

За задачи от първия тип задайте задачи на два вектора и между тях и трябва да знаете стойността на създаването на вектора. В този случай се използва следната формула: c → a → b → sin ∠ a → , b → .

Дупе 1

Намерете максималната стойност на векторните вектори a → и b →, тъй като знаем a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4.

Решение

За допълнителната стойност на векторното създаване на вектори a → и b → проблемът е ясно даден: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Предмет: 15 2 2 .

Задачи от друг тип са свързани с координатите на вектори, някои вектори и т.н. търсене по външните координати на посочените вектори a → = (a x; a y; a z) і b → = (b x ; b y ; b z) .

За този вид поръчка можете да избирате от много опции за поръчка. Например, координатите на векторите a → и b → може да не са посочени, а по-скоро те са изложени според координатни вектори от формата b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → і c → = a → × b → = (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → векторите a → и b → могат да бъдат зададени от координатите на точки ix и край.

Нека да разгледаме тези примери.

Дупе 2

В праволинейната координатна система са дадени два вектора a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Намерете своя векторен телевизор.

Решение

За други значения знаем векторното събиране на два вектора при дадени координати: a → × b → = (ay · bz - az · by) · i → + (az · bx - ax · bz) · j → + (ax · чрез - ay · bx) · k → = = (1 · 1 - (- 3) · (- 1)) · i → + ((- 3) · 0 - 2 · 1) · j → + (2 · (- 1) - 1 · 0) · k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Ако запишете вектор TV чрез основната матрица, тогава решението на този проблем изглежда като следния ред: a → x b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Предмет: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Дупе 3

Намерете гълъба на векторния вектор i → - j → и i → + j → + k → , където i → , j → , k → - ori на правоъгълната декартова координатна система.

Решение

За кочана знаем координатите на дадено създаване на вектор i → - j → × i → + j → + k → в тази праволинейна координатна система.

Оказва се, че векторите i → - j → і i → + j → + k → преместват координатите (1; - 1; 0) і (1; 1; 1) по подобен начин. Знаем стойността на създаването на вектора зад помощта на матричния сигнификатор, така че можем да i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Също така, векторното тяло i → - j → × i → + j → + k → премества координати (-1; - 1; 2) в дадената координатна система.

Дължината на създаването на вектора се познава по формулата (разделяне на довжината на вектора): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Предмет: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

Дупе 4

Правоъгълната декартова координатна система има три зададени координати: A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Намерете всеки вектор, перпендикулярен на A B → і A C → един час.

Решение

Векторите A B → і A C → преместват координатите напред (- 1 ; 2 ; 2) и (0 ; 4 ; 1) по същия начин. След като знаем векторното добавяне на вектори A B → и A C →, очевидно е, че това е перпендикулярен вектор извън стойностите на i към A B → и към A C →, тогава решаваме нашия проблем. Знаем това A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Предмет: - 6 i → + j → - 4 k → . - един от перпендикулярните вектори.

Задачата от третия тип е ориентирана към използването на правомощията на векторното създаване на вектори. След застой ще продължим да вземаме решения по поставената задача.

Дупе 5

Вектори a → ta b → перпендикулярни на ix и на същото ниво като 3 и 4. Намерете половината от създаването на вектора 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = 3 · a → × a → - 2 · b → + - b → × a → - 2 · b → = = 3 · a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

Решение

За степента на дистрибутивност на създаването на вектор можем да запишем 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

Интензитетът на асоциативността се дължи на числовия коефициент за знака на векторните творения в останалия израз: 3 a → × a → 3 a → = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + ( - 1 ) · b → × a → + (- 1) · (- 2) · b → × b → = = 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b →

Създаване на вектор a → × a → і b → × b → е равно на 0, фрагменти a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 и b → × b → = b → · b → 0, след това 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → ? .

Поради антикомутативността на създаване на вектор, това е - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

След като сме били съживени от силите на векторното творение, ние отхвърляме ревността 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

Зад умовете векторите a → и b → са перпендикулярни, така че между тях има общо π 2 . Сега вече не е възможно да замените намерените стойности в следната формула: 3 · a → - b → ? → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

Предмет: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

Удвояването на векторното създаване на вектори зад реда е a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Фрагментите вече са известни (от училищния курс), площта на трикутника е равна на половината от dowzhin от двете страни, умножена по синуса на kut между тези страни. Освен това другата страна на вектора е плосък успоредник - подкожната трикубитула, а самата друга страна изглежда като вектори a → и b → поставяйки една точка върху синуса на разреза между тях sin ∠ a → , b → .

Това е геометричният смисъл на векторното създаване.

Физически смисъл на създаване на вектор

В механиката, един от клоновете на физиката, създаването на вектор може да се използва за определяне на момента на силата в точката на пространството.

Виченца 3

Под момента на сила F → приложен към точка B, преди точка A е разумно да се приеме началото на векторна сила A B → × F →.

Ако сте отбелязали услуга в текста, моля вижте я и натиснете Ctrl+Enter

В този урок ще разгледаме още две операции с вектори: вектор допълнителни векториі смесени твърди вектори (незабавно изпратено до нуждаещите се). Нищо, понякога се случва, така че за по-голямо щастие сметана скаларно създаване на вектори, Нуждаете се от повече и повече. Това е векторната ос на наркоманията. Можем да станем враждебни към факта, че се изкачваме в три аналитични геометрии. Не така. Тази част от високопоставени математици няма много дърва за Пинокио. Всъщност материалът е още по-широк и по-прост – едва ли по-сложен от същия скаларен tvir, вероятно ще има по-малко типични задачи. Golovne в аналитичната геометрия, тъй като много, които са обърнати или вече обърнати, НЯМАТ МИЛОСТ ОТ ХИВ РАВНИНИ. Повторете като заклинание и ще бъдете щастливи.

Тъй като векторите вибрират тук далече, както проблясъците на хоризонта, няма значение, нека започнем с урока Вектори за манекени, за актуализиране или получаване на основни познания за векторите. По-подготвените читатели могат да се запознаят с избраната информация, опитах се да събера възможно най-широката колекция от приложения, които често се срещат в практическите роботи

Как мога да те направя щастлив? Когато бях малък, знаех как да жонглирам с двама души и да нося три чанти. Излезе бързо. Няма да можеш да жонглираш през цялото време, доколкото виждаме само просторни вектори, а равнинните вектори от две координати ще бъдат загубени зад борда. Защо? Ето как данните вече са се родили - вектори и смеси от твърди вектори са обозначени и работят в тривиално пространство. По-просто е!

Тази операция, точно както при скаларното създаване, участва два вектора. Нека има нетленни букви.

Самото действие означеноДа напреднем с ранг: . Има и други опции, но аз ще нарека вектора плътни вектори по същия начин, с квадратни рамена с кръст.

Аз веднага храна: къде в скаларно създаване на векторивземете съдбата на два вектора и след това два вектора също се умножават, тогава каква е разликата? Разликата е очевидна, първо за всичко, като резултат:

Резултатът от скаларното създаване на вектори е:

Резултатът от създаването на вектор е ВЕКТОР: , тогава векторът се умножава и векторът отново се изважда. Затворен клуб. Vlasna, това е името на операцията. В Ризни основна литератураОбозначенията също могат да бъдат различни, ще променя буквата.

Дизайн на векторно изкуство

Първо ще има снимка, после коментари.

Визначення: Векторно изкуство неколинеарнивектори, взети от тази поръчка, наречен ВЕКТОР, довжинакакво числено древен квадрат на успоредник, въз основа на тези вектори; вектор ортогонални на вектори, и изправяне, така че основата да има правилна ориентация:

Нека го подредим с четка, тук има много хубави неща!

Е, можем да назовем такива съществени моменти:

1) Изходни вектори, обозначени с червени стрелки, зад посочените не е колинеарен. Разпределението на колинеарни вектори ще бъде обсъдено малко по-късно.

2) Взети вектори в строг ред: – "a" умножете по "be", а чи не е „бе“ с „а“. Резултат от умножаване на векториє вектор, който е маркиран със син цвят. Ако векторите се умножават в обратен ред, тогава равният зад довжина и удълженият в директния вектор (малинов цвят) се премахват. Точно това е ревност .

3) Сега е известно от геометричната позиция на създаването на вектора. Това е изключително важен момент! Площта на синия вектор (а също и пурпурния вектор) е числено по-голяма от ПЛОЩТА на успоредника, начертан върху векторите. Малката е с успоредник на засенчване в черен цвят.

Забележка : столът е схематичен и, естествено, номиналната стойност на векторно творение не е сравнима с равнината на успоредник.

Нека отгатнем една от геометричните формули: площта на успоредника е относителното добавяне на съседните страни към синуса на разреза между тях. Следователно, въз основа на казаното, формулата за изчисляване на DOVZHINI на създаване на вектор е валидна:

Бих искал да отбележа, че формулата е за ДВОЙНИКА на вектора, а не за самия вектор. Каква практическа промяна? И смисълът е, че познаването на аналитичната геометрия на площта на успоредник често се намира чрез концепцията за векторен продукт:

Отхвърляме важна формула на приятел. Диагоналът на успоредника (червената пунктирана линия) го разделя на две трикожни равнини. И така, квадратът на трикутника, начертан върху векторите (червено люпене), може да се намери по формулата:

4) Също толкова важен факт се крие във факта, че векторът е ортогонален на векторите, тогава . Очевидно векторът на коригиране (червена стрелка) също е ортогонален на изходните вектори.

5) Вектор на корекциите, така че базаможе законориентация. В час около преминете към нова основаЩе ви докладвам за ориентация на равнинатаИ сега ще разберем каква е тази ориентация към космоса. Ще го обясня на пръстите ви дясна ръка. Изяж мислите си вулгарен пръстс вектор i среден пръстс вектор. Безименен пръст и малък пръстизцедете до дъното. Като резултат голям пръст на крака- Vector TV се удивлява на планината. Това е основа за дясна ориентация (в най-малка степен). Сега сменете векторите ( Ежедневен и среден пръст) периодично, в резултат на това палецът ще пламне и векторното тяло вече ще се движи надолу. Това също е основа за дясна ориентация. Вероятно имате проблем с храненето: каква основа има лява ориентация? „Нанесете“ със същите пръсти лява ръкавектори и вземете лявата основа и лявата ориентация на пространството (в този случай големият пръст се простира директно от долния вектор). Образно казано, тези основи са „усукани” или пространството е ориентирано на различни страни. И тази концепция не е предназначена да бъде нито пресилена, нито абстрактна - например ориентацията на пространството променя оригиналното огледало и ако „извадите предмет от огледалото“, няма да можете да ядете с оригинала". Преди да говорите, поставете три пръста пред огледалото и анализирайте изображението;-)

...все пак е добре, че вече знаете дясно и ляво ориентиранибази, защото е страшно да чуеш от някои лектори за промяна в ориентацията =)

Векторен набор от колинеарни вектори

Стойността на доклада беше обсъдена, беше невъзможно да се разбере какво се очаква, ако векторите са колинеарни. Тъй като векторите са колинеарни, те могат да бъдат разширени по една права линия и нашият успоредник също се развива в една права линия. Областта на това, както изглежда на математиците, вирогенУспоредникът е равен на нула. Това следва от формулата - синус от нула или 180 градуса е равен на нула, което означава, че площта е нула

По този начин, както е тогава і . Моля, обърнете внимание, че самият векторен вход е толкова добър, колкото нулевия вектор, но на практика често не искаме да пишем, че той също е като нула.

Атака рамо до рамо – векторно обръщане на вектор върху себе си:

С помощта на създаването на вектор можете да проверите колинеарността на тривиалните вектори, а ние ще анализираме и останалите.

За повечето практически приложения, от които може да се нуждаете тригонометрична таблица, за да разберете значението на синусите.

Е, нека запалим огъня:

Дупе 1

а) Намерете стойността на векторното създаване на вектори, защото

б) Намерете площта на успоредника, начертан върху векторите

Решение: Не, това не е милостта на приятел, внимателно платих таксите през уикенда в пунктовете за пране. Защото е решено регистрацията да продължи!

а) Зад ума, който трябва да знаете довжинвектор (създаване на вектор). Следвайки основната формула:

Vídpovid:

Ако е ядено около довжина, тогава видовете са показани само с един размер.

б) Зад ума, който трябва да знаете ■ площуспоредник, базиран на вектори. Площта на този паралелограм е числено по-стара от създаването на вектора:

Vídpovid:

Моля, имайте предвид, че видеото за векторните вибрации не е напразно, за което ни попитаха по-плоски фигуриОчевидно размерите са квадратни единици.

Винаги ще се чудите какво трябва да знаете зад кулисите и, следвайки това, ние формулираме ясноПотвърждение. Можете да заседнете с буквализъм, но писмата сред инвеститорите са нагоре и има добър шанс да се върнете за по-нататъшно изследване. Въпреки че предпоставката не е особено напрегната - тъй като доказателствата са неверни, тогава се развива враждебност, която човекът не разбира с прости думи и/или не е проникнал в същността на задачата. В този момент вече е необходимо да се упражнява контрол, най-вероятно в областта на математиката и други предмети.

Къде отиде голямата буква "ен"? По принцип беше възможно допълнително да се придържам към решението, но с метода на кратка бележка нямаше да направя нищо. Надявам се всички да разберат, че имат предвид едно и също нещо.

Популярно дупе за независимо изпълнение:

Дупе 2

Познайте площта на трикутника, базирана на вектори, като

Формулата за намиране на площта на трикубитуса чрез добавяне на вектор е дадена в коментарите преди датата. Решението и заключението на урока.

Всъщност стаята всъщност е много по-широка, те могат да навият чорапогащниците си.

За да изпълним други задачи, са ни необходими:

Силата на векторните вектори за изкуство

Органите на векторното създаване вече са ги разгледали, така че ще ги включа в този списък.

За достатъчно вектори и достатъчен брой справедливост, такава сила:

1) В други области на информация тази точка не се вижда от властите, но е още по-важна от практическа гледна точка. Така че нека бъде.

2) - Властта може да се нарече и по друг начин антикомутативност. Иначе изглежда редът на векторите има значение.

3) - каквото и да е асоциативензаконите на векторната практика. Постоянно може лесно да бъде обвиняван за границите на векторното създаване. Честно казано, какво да правя?

4) - отделно или разпределителензаконите на векторната практика. С отварянето на рамената също няма проблеми.

Като демонстрация, нека да разгледаме къс задник:

Дупе 3

Знам какво

решение:Зад мозъка трябва да знаете същността на векторното създаване. Нека напишем нашата миниатюра:

(1) Въз основа на асоциативни закони, ние налагаме константи отвъд границите на създаване на вектор.

(2) Въведете константата между модулите; нейният модул има знак минус. Довжина може да бъде отрицателен.

(3) По-нататък стана ясно.

Vídpovid:

Дойде време да хвърлим дърва в огъня:

Дупе 4

Изчислете площта на трикожното дърво въз основа на векторите

Решение: Площта на трикутула е известна с формулата . Проблемът е, че самите вектори "ce" и "de" са представени като сбор от вектори. Алгоритъмът тук е стандартен и предполагам, че е добра идея за пример № 3 и урок 4 Скаларни векторни вектори. За по-голяма яснота решението е разделено на три етапа:

1) На първата стъпка е ясно, че векторът tvir през вектора tvir, по същество, virazimo вектор чрез вектор. Все още нито дума за довжини!

(1) Заместени във векторни изрази.

(2) Закони за използване и разпределение, отварящи ръцете зад правилото за умножаване на богатите членове.

(3) Използвайки асоциативните закони, ние пренасяме всички константи отвъд границите на векторните творения. Ако балансът е нисък, 2 и 3 могат да бъдат анулирани едновременно.

(4) Първо и най-важно, останалите добавки са равни на нула (нулев вектор) на постоянна мощност. Друг доданку използваме собствено антикомутативност на създаването на вектор:

(5) Правят се подобни допълнения.

В резултат на това векторът се появява през вектора, което трябва да се постигне:

2) На друг етап ще разберем края на векторното създаване, от което се нуждаем. Това е, което предполагам Пример 3:

3) Знаем района на шуканския трикутник:

Етапи 2-3 от решението могат да бъдат изпълнени в един ред.

Vídpovid:

Разгледайте по-отблизо контролните роботи, задната ос за независимо управление:

Дупе 5

Знам какво

Кратко решениеИ накрая, нека поговорим за урока. Да се ​​чудиш колко респект си имал към предните задници ;-)

Вектор tvir вектори по координати

, задачи в ортонормална основа, изразено с формулата:

Формулата е доста проста: в горния ред на индекса се записват координатни вектори, в другия и третия ред координатите на векторите се „полагат“ и в строг ред- Първо ще започна с координатите на вектора „ve“, след това с координатите на вектора „double-ve“. Ако векторите трябва да бъдат умножени в различен ред, тогава редовете от следи се обръщат:

Дупе 10

Потвърдете, че колинеарните вектори ще бъдат налични в пространството:
а)
б)

Решение: Проверката се основава на един от принципите на този урок: тъй като векторите са колинеарни, тогава тяхното векторно добавяне е равно на нула (нулев вектор): .

а) Знаем вектора tvir:

Следователно векторите не са колинеарни.

b) Знаем вектора tvir:

Vídpovid: а) не е колинеарен; б)

Axis, може би, и цялата основна информация за създаването на вектор.

Този раздел ще бъде малък, тъй като фрагментите от реда, където векторите са смесени, не са богати. Почти всичко ще се основава на обозначението, геометричното изместване и редица работни формули.

Смесени твърди вектори – tse tvir threeohвектори:

Ос така смрад виси около локомотива и те проверяват, те не проверяват, когато ги броят.

Започвам да си спомням тази снимка:

Визначення: Смесено с творение некомпланарнивектори, взети от тази поръчка, Наречен паралелепипед, генерирани върху тези вектори, със знак „+“, тъй като основата е дясна, и знак „–“, тъй като основата е лява.

Виконаемо малките. Невидимите за нас линии са пунктирани:

Заключвам се на срещата:

2) Взети вектори в пеещ ред, тогава пренареждането на векторите в творението, както се досещате, не минава без последствия.

3) Преди да коментирам геометричното изместване, ще посоча един очевиден факт: смесване на твърди вектори с NUMBER: . В първоначалната литература форматирането може да е много по-различно; означавам сместа чрез и резултатът се изчислява с буквата „ne“.

За срещи смесено тяло – същото като паралелепипед, създаден върху вектори (фигурата е маркирана с червени вектори и черни цветни линии). Това число е древно за този паралелепипед.

Забележка : креслото е схематично.

4) Не се тревожете твърде много за понятията ориентация, основа и пространство. Смисълът на последната част на изречението може да бъде даден със знак минус. С прости думи, смесените новини могат да бъдат отрицателни: .

Директно от стойността следва формулата за изчисляване на обема на паралелепипед, образуван върху вектори.

Визначення. Създаването на вектор на вектор a и вектор b е вектор, който е обозначен със символа [«, b] (или l x b), така че 1) удвояването на вектора [a, b] е по-скъпо (p, de y - между вектори a и b (2) вектор [a, b) перпендикулярен на вектори a и b, тогава. перпендикулярно на равнината на тези вектори; 3) векторът [a, b] на изправяне, така че в края на този вектор да се вижда най-късият завой от a към b, тъй като се среща срещу стрелката на годината (фиг. 32). Ориз. 32 Фиг. 31 В противен случай изглежда, че векторите a, b и [a, b) създават правилните три вектора, тогава. с формата на големия, красив и среден пръст на дясната ръка. Ако векторите a и b са колинеарни, ще вземем предвид, че [a, b] = 0. За горните стойности стойността на създаване на вектор е числено по-голяма от площта Sa на успоредника (фиг. 33), създадени върху векторите, които се умножават, a и b като страни: 6.1. Силата на създаването на вектор 1. Векторният доход е равен на нулевия вектор и само ако вземем един от векторите за умножение, който е нула, или ако векторите са колинеарни (или векторите a и b са колинеарни, тогава има разлика между тях, 0 или 7g) . Това може лесно да се заключи от факта, че ако разгледаме нулев вектор, който си сътрудничи с който и да е вектор, тогава менталната колинеарност на векторите a и b може да се изчисли по следния начин: 2. Векторът е антикомутативен, след това същият. Вярно е, че векторите (a, b) са еднакви и колинеарни. Посоките на тези вектори са успоредни, фрагменти от края на вектора [a, b] ще се вижда кратък завой от a към b, както се появява срещу стрелката на годината, и от края на вектора [b, a] - зад стрелката за годината (фиг. 34). 3. Векторът tvir има отделна мощност, докато не бъде добавен 4. Численият множител L може да се приеме като знак за векторно творчество 6.2. векторен тип вектори, дадени координати Нека векторите a и b са зададени чрез техните координати в базиса. Разваляйки отделната сила на създаване на вектор, ние знаем векторното добавяне на дадени координати. Смесена телевизия. Записваме векторното създаване на координатни вектори (фиг. 35): Следователно, за векторното създаване на вектори a и b, можем да извадим от формула (3) този израз Формула (4) може да бъде записана в символна форма, която лесно се запомня, тъй като бързо се превръща в следствие от 3-ти ред. : Поставете този ред зад елементите на 1-ви ред, премахнете го (4). приложете го. 1. Намерете площта на успоредника, генериран върху векторите на Шукан, площта на Том е известна = звезди 2. Намерете площта на трикожието (фиг. 36). Ясно е, че площта b"d на трикожния VAT е повече от половината от площта S на успоредника O AC B. Изчислителното векторно тяло (a, b| вектори a = OA и b = oЪ, е изводимо Звидси Зауважения. Векторът твърдо не е асоциативен, тогава ревността (a, b ),c) = [a, |b,c)) в началната клауза е неправилна Например, с a = ss j можем § 7. Смесване на добавянето от вектори Нека имаме три вектора a, b и c. [a, 1>] Умножете y скаларно по вектор 3: (k b), c) Числото ([a, b], e) се нарича смесено произведение на вектори a, b. c i се обозначава със символа (a, 1), e) 7.1 Геометричен смисъл на смесено творение Добавяме вектори a, b и от излезлите точки (фиг. 37) Тъй като всички точки O, A , B, C лежат в една и съща равнина (векторите a, b и c се наричат ​​компланарни в този случай), тогава сместа е твърда ([a, b], c) = 0. Това следва от факта, че векторът [a , b| е перпендикулярна на равнината, в която лежат векторите a и 1, и следователно векторът c./ t окулярите O, A, B, C не лежат в една и съща равнина (векторите a, b и z не са компланарни), те ще бъдат на ръбовете OA, OB и OS на паралелепипеда (фиг. 38 а). За стойностите на създаването на вектора имаме (a, b) = So, където So е площта на успоредника OADB, а z е единичен вектор, перпендикулярен на векторите a и b и такъв, че тройната a, b, c са прави, тогава. векторите a, b и s са оформени като големия, вулгарния и средния пръст на дясната ръка (фиг. 38 b). Умножавайки неправилните части на останалите равенства отдясно скаларно по вектор, се премахва, че векторът е сбор от векторите, дадени от координатите. Смесена телевизия. Числото pg е равно на височината h на генерирания паралелепипед, взета със знака “+”, който е между векторите със и със страните (тройка a, b, c - вдясно), и със знака “-” , което е глупаво (тройно a, b , с - ляво), така че самият Тим, смесвайки добавянето на вектори a, b и от традиционния V паралелепипед, генерира върху тези вектори като на ръбовете, като тройния a, b, c - дясно, i -V, като тройката a, b, s – лива. Идвайки от геометричния смисъл на смесеното създаване, можем да конструираме формула, която чрез умножаване на същите вектори a, b и във всеки друг ред, след това ще премахнем или +7, или -K. Знак Virob Фиг. 38 информацията зависи само от факта, че се създават три вектора, които се умножават - надясно или наляво. Ако векторите a, b образуват дясна тройка, тогава тройките b, c, a и c, a, b също ще бъдат прави. В същия час има и трите тройки b, a, h; a, s, b i s, b, a – лив. Самият Тим, (a,b,c) = (b,c, a) = (c,a,b) = -(b,a,c) = -(a,c,b) = -(c,b А). Нека подчертаем още веднъж, че смесването на два вектора е една нула само ако векторите a, b, s са умножени: (a, b, s копланарни) 7.2. Смесете твърдото тяло в координатите на векторите a, b, iz предвид техните координати в основата i, j, k: a = (x\,y\,z]), b=(x2,y2>z2), c = (x3, uz, 23). Знаем израза на това разхвърляно творение (a, b, h). Може да има смес от три вектора, определени от техните координати в основата i, J, до началото на третия ред, чиито редове се формират според координатите на първия, другия и третия от векторите, които се умножават. Необходимо е достатъчна умствена копланарност на векторите a y\, Z|), b = (хъ У2. 22), с = (жз, з, 23) да бъдат записани по такъв начин У | z, ag2 y2 -2 = 0. Университетско приложно. Проверете дали това са копланарни вектори „ = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17). Векторите, които се разглеждат, ще бъдат копланарни или некомпланарни, в зависимост от факта, че са равни на нула и нито произхода на елементите от първия ред, можем да премахнем D = 7- 6- 4- 15 + 6 -3 = 0^- вектори n, b, s копланарни. 7.3. Подчинено векторно тяло Подчинено векторно тяло [a, [b, c]] е вектор, перпендикулярен на векторите a и [b, c]. Следователно той лежи в равнината на векторите b и c и може да бъде разложен от тези вектори. Може да се покаже, че формулата [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) е валидна. Вдясно 1. Три вектора AB = c, F? = около SA = b служат като страни на trikuputnik. Изразете чрез a, b и вектори, които съвпадат с медианите AM, DN, CP на трикожното. 2. В какъв ум са свързани векторите p и q, така че векторът p + q да се раздели между тях? Предава се, че и трите вектора са донесени до кочана. 3. Изчислете половината от диагоналите на успоредника, начертан върху векторите a = 5p + 2q и b = p - 3q, като е ясно, че |p| = 2v/2, | q | = 3 H-(p7ci) = f. 4. След като маркирате чрез a и b страните на ромба, които излизат от върха на ъгъла, уверете се, че диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни. 5. Изчислете скаларното събиране на векторите a = 4i + 7j + 3k и b = 31 - 5j + k. 6. Намерете единичния вектор a0, успореден на вектора a = (6, 7, -6). 7. Намерете проекцията на вектора a = l + j-kHa вектор b = 21 - j - 3k. 8. Намерете косинуса на вектора между векторите IS «w, като A (-4,0,4), B (-1,6,7), C (1,10.9). 9. Намерете единичния вектор p°, перпендикулярен на вектора a = (3, 6, 8) и оста Ox. 10. Изчислете синуса на квадрата между диагоналите на паралелофама, генерирани върху векторите a = 2i+J-k, b=i-3j + k както на страните. Изчислете височината h на паралелепипеда, генериран върху векторите a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, въз основа на паралелограма, генериран върху векторите a и I). Видове

Визначення. Създаването на вектор на вектор a (кратно) върху колинеарния вектор (мултипликатор) се нарича трети вектор z (tvir), което ще бъде следващата стъпка:

1) този модул е ​​числено по-стар от равнината на успоредника на фиг. 155), въз основа на вектори, които са директно перпендикулярни на равнината на предполагаемия успоредник;

3) в този случай векторите се избират директно (от два възможни), така че векторите да образуват правилната система (§ 110).

Обозначение: или

Добавено към днешна дата. Тъй като векторите са колинеарни, тогава фигурите са важни (мислено) успоредници и следователно трябва да им бъде присвоена нулева площ. Следователно векторното добавяне на колинеарни вектори се счита за равно на нулевия вектор.

Фрагментите могат да бъдат приписани на нулевия вектор по всякакъв пряк начин, за да не противоречат на точки 2 и 3.

Зачитане 1. В термина „векторна плътност“ първата дума показва тези, чийто резултат е вектор (за разлика от скаларното създаване; равно на § 104, отношение 1).

Приложение 1. Намерете векторния вектор, основните вектори на дясната координатна система (фиг. 156).

1. Фрагменти от два основни вектора са равни на единици мащаб, тогава площта на успоредника (квадрата) е числено равна на единици. Освен това векторният модул е ​​по-стара единица.

2. Фрагментите са перпендикулярни на равнината - оста, тогава търсеният вектор твърд е вектор, колинеарен на вектора to; Тъй като вреди на вонята на модул 1, тогава търсенето на векторни добавки е или k, или -k.

3. От тези два възможни вектора трябва да изберете първия, така че векторите да създават системата отдясно (и векторите отляво).

Пример 2. Познайте вектора tvir

Решение. Като например 1, можем да кажем, че векторът е същият като k или -k. Но сега трябва да изберете -k, така че векторите да настроят системата отдясно (и векторите отляво). Отже,

Пример 3. Векторите са начертани точно на същото ниво като 80 и 50 cm и ъгъл 30°. Вземайки dolzhini метър като един, разберете dolzhin на векторното създаване

Решение. Площта на успоредника, създаден върху векторите, е древна Дължината на търсеното векторно създаване е древна.

Пример 4. Намерете довжина на векторното създаване на самите тези вектори, като вземете довжин сантиметър за един.

Решение. Фрагментите от областта на успоредника, генерирани от векторите, са толкова стари, колкото дължината на вектора dobutu като 2000 дива, тогава.

От подравняването на приложения 3 и 4 става ясно, че дължината на вектора е резултат от дължината на факторите и в резултат на избора на единицата за дължина.

Физически смисъл на създаване на вектор.От числените физически величини, които се представят чрез векторно създаване, нека разгледаме само момента на силата.

Нека A е точката на отчетената сила. Моментът на силата до точката O се нарича векторно тяло. Фрагментите от модула на това създаване на вектор са числено по-стари от плосък успоредник (фиг. 157), тогава модулът на момента е по-висока от допълнителната стойност на заместването на височината, тогава силата, умножена по стойката от точка O до правата линия, Какъв вид мощност има?

Механизмът осъзнава, че от баланса на твърдо тяло е необходимо да се равнява на нула като сбор от вектори, които са силите, приложени към тялото, както и сумата от моментите на силите. В този случай, ако всички сили са успоредни на една и съща равнина, сгъването на векторите, които представляват моменти, може да бъде заменено с добавените и премахнатите от техните модули. Без достатъчно директни сили такава замяна е невъзможна. Очевидно е до каква степен едно векторно число се дефинира като вектор, а не като число.

Вектор vitvir- това е псевдовектор, перпендикулярен на равнината, генериран от два умножителя, който е резултат от двоичната операция на „векторно умножение“ върху вектори в тривиалното евклидово пространство. Векторният вектор няма силата на комутативност и асоциативност (и антикомутация) и, за разлика от скаларното създаване на вектори, е вектор. Широко използван в различни технически и физически приложения. Например ъгловият момент и силата на Лоренц са математически записани като векторно произведение. Векторното добавяне е кафяво, за да „вибрира“ перпендикулярността на векторите - векторният модул създава два вектора, използвайки едно и също добавяне към техните модули, ако са перпендикулярни, и се променя на нула, ако векторите са успоредни или антипаралелни.

Това означава, че едно векторно тяло е възможно по различни начини и теоретично, за пространство с произволно измерение n, можете да изчислите тяло от n-1 вектора, като извадите от вашия един вектор, перпендикулярен на всички тях. Ако твърдото тяло е взаимосвързано с нетривиални двоични творения с векторни резултати, тогава традиционното векторно твърдо тяло е дефинирано само в тривиалните и седеммерните пространства. Резултатът от създаване на вектор, както и скаларно, се намира в метриката на евклидовото пространство.

В допълнение към формулата за изчисляване на координатите на вектори на скаларна система в тримерна праволинейна координатна система, формулата за векторен продукт трябва да се основава на ориентацията на праволинейната координатна система или по друг начин „хиралност“.

Стойност:
Векторното добавяне на вектор a към вектор b в пространството R 3 се нарича вектор c, което показва предстоящите резултати:
довжин вектор c довжину довжена вектори a и b чрез синус на разреза φ между тях:
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c, ортогонален на кожен вектор c вектори a и b;
вектор c е коригиран, така че трите вектора abc да са десни;
За всяко пространство R7 се изисква асоциативността на три вектора a, b, c.
Определен:
c===a × b

Ориз. 1. Площта на паралелограма е по-стара от векторния модул

Геометрична сила на векторното изкуство:
Необходимата и достатъчна умствена колинеарност на два ненулеви вектора е равна на нулата на тяхното векторно създаване.

Векторен творчески модул антична област Суспоредник, генериран чрез редукция към фронталните вектори аі b(Div. Фиг. 1).

Якшчо д- единичен вектор, ортогонален вектор аі bи селекции, така че три a,b,e- правилно и С- площта на успоредника, начертан върху тях (посочен към челния кочан), тогава за създаването на вектор е валидна следната формула:
=S e

Фиг.2. Обемът на паралелепипеда с використа на векторни и скаларни вектори; Пунктираните линии показват проекциите на вектор c върху a × b и вектор a върху b × c, първият ред е местоположението на скаларните творения

Якшчо ° С- какъв вид вектор, π - било то плоскост, за да отмъсти на този вектор, д- един вектор, който лежи близо до равнината π и ортогонален на c,g- единичен вектор, ортогонален на равнината π и корекции, така че три вектора екге прав, тогава за всеки, който лежи на площада π вектор аформулата е правилна:
=Pr e a |c|g
de Pr e проекция на вектор e върху a
|c|-модул на вектор z

С vicoristan на векторни и скаларни творения е възможно да се вирахуват паралелепипедът, генериран от редуцирането до векторите на кочана а, бі ° С. Такава комбинация от три вектора се нарича смесена.
V=|a (b×c)|
Малкият показва, че това може да се намери по два начина: геометричният резултат се запазва при замяна на „скаларните“ и „векторните“ творения:
V=a×b c=a b×c

Стойността на векторното произведение е в синуса на окръжността между първичните вектори, така че векторното тяло може да се разглежда като ниво на перпендикулярност на векторите, точно както скаларното тяло може да се разглежда като ниво на паралелност. Векторното събиране на два единични вектора е по-високо от 1 (единичен вектор), ако векторите на cob са перпендикулярни, и по-високо от 0 (нулев вектор), ако векторите са успоредни или антипаралелни.

Viraz за създаване на вектор в декартови координати
Има два вектора аі bопределени от техните правоъгълни декартови координати или по-точно представени в ортонормална основа
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
и координатната система е правилна, тогава нейното векторно тяло изглежда така
=(a y b z -a z b y,a z b x -a x b z,a x b y -a y b x)
За да запомните тази формула:
i = ∑ε ijk a j b k
де ε ijk- символ на Леви-Чивити.