Înainte de asta, ca să dea o înțelegere a creației vectoriale, bestial la hrănirea orientării trinității ordonate de vectori a → , b → , c → în spațiul trivial.

Să adunăm vectorii a → , b → , c → în același punct. Orientarea trinității a → , b → , c → este dreapta, direct în linie cu vectorul c → . În plus, celei mai scurte viraj în direcția vectorului a → spre b → de la capătul vectorului c → i se va atribui forma trio-ului a → , b → , c → .

Deoarece cea mai scurtă viraj este împotriva săgeții anului, atunci trioul de vectori a → , b → , c → se numește dreapta, ca în spatele săgeții anului - livy.

Să luăm doi vectori necoliniari a → і b → . Să adunăm vectorii AB → = a → і A C → = b → la punctul A. Să creăm un vector A D → = c → , care este o perpendiculară de o oră і A B → і A C → . În acest fel, atunci când vectorul însuși A D → = c → putem găsi un metrou, așezându-l fie unul drept, fie invers (ne minuneți de ilustrație).

Trinitatea vectorilor a → , b → , c → poate fi ordonată, deoarece punem numărul potrivit în direcția corectă a vectorului.

Din cele spuse mai sus, putem introduce desemnarea unei creații vectoriale. Desemnarea este dată pentru doi vectori, care sunt alocați unui sistem de coordonate dreptunghiular al unui spațiu trivial.

Numirea 1

Crearea vectorială a doi vectori a → și b → numim un astfel de vector de sarcini pentru un sistem de coordonate dreptunghiular al unui spațiu trivi-lume astfel încât:

• ca vectorii a → și b → coliniari, vіn va fi nul;
• vіn va fi perpendicular pe vectorul a → ta pe vectorul b → tobto. ∠ a → c → ∠ b → c → = π 2 ;
• yogo dozhina este atribuită formulei: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b →;
• trinitatea vectorilor a → , b → , c → poate avea aceeași orientare ca și sistemul de coordonate.

Vectorial dobut vector_v a → ta b → maє ia aceeași valoare: a → × b → .

Coordonatele vectoriale

Dacă un vector poate avea mai multe coordonate în sistemul de coordonate, puteți introduce o altă denumire a creării vectorului, deoarece vă puteți informa coordonatele din spatele coordonatelor date ale vectorilor.

Numirea 2

Într-un sistem de coordonate rectiliniu al unui spațiu trivial crearea vectorială a doi vectori a → = (a x ; a y ; a z) і b → = (b x ; b y ; b z) denumește vectorul c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → , unde i → j → k → є vectori de coordonate.

Vectorul tvіr poate fi reprezentat ca semn al unei matrice pătrate de ordinul trei, primul rând sunt vectorii și orti i → , j → , k → , celălalt rând sunt coordonatele vectorului a → , iar al treilea rândul este coordonatele vectorului b → într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat, dat semnul matricei arătând astfel: c → = a → × b → = i → j → k → axayazbxbybz

După declararea venerabilului lider în spatele elementelor din primul rând, luăm egalitate: j → k → axayazbxbybz = ayazbybz i → - axazbxbz j → + axaybxby k → = = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k →

Puterea de creare a vectorului

Aparent, vectorul TV în coordonate este reprezentat ca o matrice c → = a → × b → = i → dominaţia conducătorului matricei arata asa puterea de creare a vectorului:

1. anticomutatie a → × b → = - b → × a →;
2. distributivitatea a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → sau a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. asociativitatea λ · a → × b → = λ · a → × b → sau a → × (λ · b →) = λ · a → × b → , unde λ este un număr valid.

Puterea autorității nu poate fi pliată pentru a dovedi.

De exemplu, putem aduce puterea de anticomutativitate a creării vectorului.

Dovada anticomutativității

Pentru atribuiri a → x b → = i → j → k → a x a y z b x b y b z i b → x a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . Și dacă rearanjați două rânduri de matrice după rânduri, atunci valoarea semnificantului matricei poate fi modificată pe lungime, atunci, a → x b → = i → j → k → axayazbxbybz = - i → j → k → bxbybzaxayaz = - b → × a → care aduce crearea vectorului anticomutativ.

Vector TV - aplicați acea soluție

Cel mai adesea, se aud trei tipuri de sarcini.

Pentru probleme de primul tip, sunați sarcinile celor doi vectori și între ei și este necesar să se cunoască lungimea creării vectorului. În acest moment, ele sunt ghimpate cu formula ofensivă c → a → b → sin ∠ a → , b → .

fundul 1

Aflați valoarea extensiei vectoriale a vectorului a → și b → , ceea ce înseamnă a → = 3 , b → = 5 , ∠ a → , b → = π 4 .

Soluţie

Pentru ajutorul desemnării creării vectorului, se dă vectorul a → care b → descompune problema: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

Sugestie: 15 2 2 .

Sarcina de alt tip poate fi legată de la coordonatele vectorilor, pentru unii vectori, în același mod. glumează prin coordonatele date ale vectorilor dați a → = (a x ; a y ; a z) і b → = (b x ; b y ; b z) .

Pentru acest tip de sarcină, puteți alege multe variante ale sarcinii. De exemplu, puteți seta vectori necoordonați a → і b → , ca un aspect conform vectorilor de coordonate de forma b → = b x i → + b y j → + b z k → і c → = a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → vectorii a → ta b → pot fi dați prin coordonate .

Să aruncăm o privire și să aplicăm.

fundul 2

Un sistem de coordonate dreptunghiular are doi vectori a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). Aflați televizorul dvs. vectorial.

Soluţie

Pentru alte atribuții, cunoaștem complementul vectorial a doi vectori în coordonate date: a → × b → = (ay bz - az by) i → + (az bx - ax bz) j → + (ax by - ay bx) k → = = (1 1 - (- 3) (- 1)) i → + ((- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Dacă scrieți vectorul twіr prin vectorul matrice, atunci soluția acestui butt arată ca rangul care urmează: a → x b → = i → j → k → axayazbxbybz = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

Sugestie: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

fundul 3

Aflați valoarea extensiei vectoriale a vectorului i → - j → ta i → + j → + k → , de i → , j → , k → - sistem de coordonate carteziene ortogonal.

Soluţie

Pentru cob, cunoaștem coordonatele creării vectorului dat i → - j → × i → + j → + k → y ale sistemului de coordonate dreptunghiulare.

Aparent, vectorii i → - j → і i → + j → + k → pot coordona (1; - 1; 0) și (1; 1; 1) este corect. Cunoaștem valoarea creării vectorului din spatele ajutorului matricei matrice, atunci putem i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

Otzhe, vector TV i → - j → × i → + j → + k → coordonate maє (-1; - 1; 2) pentru sistemul de coordonate dat.

Lungimea creării vectorului este cunoscută prin formula (div. împărțirea lungimii vectorului): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6 .

Sugestie: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

fundul 4

Un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare are trei coordonate: A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2). Găsiți un vector, perpendicular pe A B → і A C → o oră.

Soluţie

Vectorii A B → і A C → pot fi următoarele coordonate (- 1 ; 2 ; 2) și (0 ; 4 ; 1) sunt corecte. Cunoscând extensia vectorială a vectorilor A B → і A C → , este evident că este un vector perpendicular pentru destinațiile і la A B → , і la A C → , astfel încât să ne putem rezolva problemele. Cunoaștem yoga A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

Sugestie: - 6 i → + j → - 4 k → . - unul dintre vectorii perpendiculari.

Sarcina celui de-al treilea tip de orientare este alegerea autorităților de creare a vectorilor. După zastosuvannya de orice, vom lua decizia sarcinii date.

fundul 5

Vectorii a → ta b → perpendiculari și їх dozhina sunt egali cu vіdpovіdno 3 și 4 . Aflați valoarea creării vectorului 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → .

Soluţie

Datorită puterii de creare a vectorului distributiv, putem scrie 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

De dragul asociativității, dăm vina pe coeficienții numerici pentru semnul creațiilor vectoriale în restul expresiei: 3 a → × a → 3 a → = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1 ) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → x b →

Vector creați a → × a → і b → × b → рівні 0, skіlki a → × a → = a → a → sin 0 = 0 і b → × b → = b → b → 0, apoi 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → ? .

Deoarece anticomutativitatea creării vectorului este evidentă - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → . .

După ce am accelerat puterea de creare a vectorului, luăm echivalența 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → .

În spatele minții, vectorii a → și b → perpendiculari, apoi tăiat între ei este mai scump π 2 . Acum nu mai este de dat sensul cunoscut al diferitelor formule: 3 · a → - b → ? → sin (a →, b →) = 5 3 4 sin π 2 = 60.

Sugestie: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60 .

Valoarea vectorului de creare a vectorilor pentru ordinul este mai mult a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → . Oskіlki vzhe vіdomo (cursul zі shkіlnogo), zona trikutnika mai mult de jumătate din dobutku dovzhin două laturi înmulțite cu sinusul tăieturii dintre cele două părți. Mai târziu, lungimea adunării vectoriale la pătratul paralelogramului este un tricot dublu, iar extensia laturilor la aspectul vectorilor a → і b → în plus față de aceleași puncte de pe sinusul kutei dintre ei. sin ∠ a → , b → .

Tse i є simțul geometric al creării vectoriale.

Simțul fizic al creării vectorului

În mecanică, una dintre diviziunile fizicii, unei creații vectoriale i se poate atribui un moment de forță ca un punct al spațiului.

Numirea 3

Sub momentul forței F → , aplicat punctului B , în timp ce punctul A este de înțeles vectorului de torsiune A B → × F → .

Cum ți-ai amintit de iertare din text, fii amabil, vezi-o și apasă Ctrl + Enter

La acest nivel, putem privi încă două operații cu vectori: vector stand vector_vі Zmіshany tvіr vectorіv (Vіdrazu possilannya, care are nevoie de acel lucru). Nu este nimic groaznic, așa că uneori este doar pentru fericire totală, krim vector creativ scalar, Am nevoie din ce în ce mai mult. Aceasta este axa vectorială a dependenței de droguri. S-ar putea adăuga o animozitate pe care o putem urca în plasa geometriei analitice. Nu așa. Pentru care marii matematicieni au luat puțin lemn de foc, este mai bine să petreci pe Pinocchio. Într-adevăr, materialul este mai larg și mai simplu - cu greu mai pliabil, mai jos decât același scalar tvir, vor exista sarcini mai puțin tipice. Golovne în geometria analitică, la fel ca mulți oameni care se răzgândesc și au deja mizerie, NU AVEȚI MILĂ ÎN HIVISLE. Repetați ca o vrajă și veți fi fericit.

Ca vectorii și vibrează aici departe, ca sclipici la orizont, nu fi, începe de la lecție Vectori pentru ceainice, pentru a învăța sau pentru a dobândi cunoștințe de bază despre vectori. Cititorii pot afla mai multe despre aceste informații, am încercat să adun cât mai mult posibil o colecție de aplicații, care sunt adesea folosite de roboții practici

Ce te va face fericit? Dacă sunt mic, atunci am învățat să jonglez cu două și să împachetez trei în pungi. A fost înfiorător. În același timp, jonglarea nu se va întâmpla dintr-o clipită, cioburile ochilor noștri pot fi văzute numai vectori spațiali, iar vectorii plati din două coordonate sunt lăsați în urmă. De ce? Așa s-au născut deja datele - vectorul nu este același zmіshane tvіr vektorіv este desemnat să practice în spațiul trivial. Deja mai ușor!

La această operație, la fel ca într-o creație scalară, participați doi vectori. Să fie scrisori nemuritoare.

diya însăși fi numit să venim în grad: . Opțiuni Іsnuyut și іnshі, dar folosesc și sunetul pentru a desemna un vector tvir vector în același mod, în brațe pătrate cu o cruce.

Eu, imediat alimente: yakscho in crearea scalară a vectorilor luați soarta a doi vectori, și aici, de asemenea, înmulțiți doi vectori, atunci Care este diferența? Diferență clară, în primul rând pentru toate, ca REZULTAT:

Rezultatul creării vectorului scalar este є:

VECTOR: , atunci vectorul este înmulțit și vectorul este luat din nou. Club închis. Vlasne, sunetul este numele operațiunii. La diferit literatura primara sensul aceluiași poate fi variat, voi alege litera.

Desemnarea creării vectorului

Revin cu o poza, apoi cu comentarii.

Programare: Creativ vectorial necoliniare vectoriv, luate din ordinul dat, numit VECTOR, dozhina numeric zonă mai bună a paralelogramului, pe baza acestor vectori; vector ortogonală la vectori, și direcții astfel încât baza să aibă orientarea corectă:

Alegem programarea la perii, se bate mult aici!

Din nou, puteți numi următoarele momente:

1) Vectori din exterior, marcați cu săgeți roșii, pentru cei desemnați nu coliniare. Vipadok kolіnearnyh vektor_v înainte ca râul să arate trohi pіznіshe.

2) Luați vectori într-o ordine strict definită: – „a” înmulțit cu „fi”, iar chi nu este „fi” la „a”. Rezultatul înmulțirii vectorilorє Un vector cu semnificație de culoare albastră. Dacă înmulțiți vectorii y în ordine inversă, atunci luăm vectorul egal cu distanța și vectorul drept (culoare purpurie). Tobto echitabil gelozie .

3) Acum cognoscibil din crearea geometrică a vectorului zm_st. Acesta este un punct extrem de important! Lungimea vectorului albastru (și, de asemenea, i a vectorului purpuriu) este numeric mai mare decât aria paralelogramului, pe baza vectorilor. Pe cel mic este un paralelogram de umbrire cu culoare neagră.

Notă : fotoliu є schematic, în mod firesc, valoarea nominală a creării vectorului nu este egală cu aria paralelogramului.

Ghicim una dintre formulele geometrice: aria paralelogramului este mai scumpă pentru a adăuga suma laturilor la sinusul kuta dintre ele. Pentru aceasta, conform celor de mai sus, formula pentru calcularea DOVZHINI a creării Vectorului este valabilă:

Reiterez că formulele au despre DOWN-ul vectorului și nu despre vectorul în sine. Ce zmist practic? Și sensul este astfel încât definiția geometriei analitice a ariei unui paralelogram este adesea cunoscută prin conceptul de produs vectorial:

Să luăm unui prieten o formulă importantă. Diagonala paralelogramului (linia punctată roșie) împarte yogo-ul în două tricoturi egale. Mai târziu, aria tricutnikului, inspirată de vectori (umbrire neagră), poate fi cunoscută prin formula:

4) Un fapt nu mai puțin important este că vectorul este ortogonal cu vectorii, că . De înțeles, vectorul de îndreptare (săgeata purpurie) este, de asemenea, ortogonal cu vectorii exteriori.

5) Vectorul de îndreptare astfel încât bază Mai lege orientare. La lecția despre mergi la o nouă bază Raportez despre orientarea planuluiși ne vom da seama imediat ce fel de orientare către spațiu. Îți voi explica pe degete mana dreapta. Gandeste-te la asta deget atrăgător cu vectorul i degetul mijlociu cu un vector. Degetul inelar și degetul mic apăsați în jos spre vale. Ca urmare deget mare- Vector tvir este în sus. Preț și є orientare spre dreapta (pe o scară mică de defecte). Acum amintiți-vă vectorii ( degetele expresive și mijlocii) de mâini, ca urmare, degetul mare se va erupe, iar vectorul tvir se va mișca deja în jos. Aceasta este, de asemenea, o bază de orientare spre dreapta. Posibil, ai un winklo de mâncare: ce fel de bază pot avea o orientare la stânga? „Invită” aceleași degete mâna stângă vectori și eliminați baza stângă și orientarea stângă a spațiului (în cazul meu, degetul mare este întins pe linia dreaptă a vectorului inferior). Figurat, aparent, bazele „se răsucesc” sau orientează spațiul pe diferite laturi. Și nu este ușor de înțeles dacă ne gândim la ceva abstract - deci, de exemplu, orientarea spațiului schimbă dimensiunea oglinzii și este ca „loviți obiectul din oglindă”, atunci nu puteți intra în sălbatic cu „original”. Înainte de a vorbi, pune trei degete pe oglindă și analizează impresia;-)

... încă e bine, despre ce știi acum orientare dreapta si stanga baze, mai multe discuții înfricoșătoare ale unor astfel de lectori despre schimbarea orientării =)

Tvir vectorial al vectorilor coliniari

Numirea ar fi fost dezasamblată, nu au mai fost clarificări, ce este nevoie, dacă vectorii sunt coliniari. Deoarece vectorii sunt coliniari, atunci ei pot fi extinși pe o linie dreaptă și paralelogramul nostru poate fi, de asemenea, pliat într-o singură linie dreaptă. O astfel de zonă, așa cum pare a fi matematicienii, virogenă Paralelogramul este egal cu zero. Tse w vyplivaє i z formule - sinusul lui zero sau 180 de grade la zero și, prin urmare, pătratul lui zero

Într-un asemenea rang, yakscho, atunci і . Pentru a lua în considerare faptul că vectorul dobutok în sine este egal cu vectorul zero, dar în practică este adesea dificil să scrieți că vectorul este, de asemenea, egal cu zero.

Okremy vipadok - vector tvir al vectorului pe sine:

Pentru a ajuta la crearea vectorului, coliniaritatea vectorilor trivimeri poate fi inversată, iar sarcina mijlocului celorlalte conflicte poate fi rezolvată.

Pentru perfecțiunea aplicațiilor practice, este posibil să aveți nevoie tabel trigonometric, pentru a găsi sensul sinusurilor.

Ei bine, hai să tragem focul:

fundul 1

a) Cunoașteți valoarea vectorului de creare a vectorilor, deci

b) Aflați aria paralelogramului pe baza vectorilor

Soluţie: Hі, tse not a drukarska pardon, vihіdnі danі în punctele minții, am navmisno zrobiv la fel. De aceea, decizia de proiectare este luată în considerare!

a) Este necesar ca mintea să cunoască dozhina vector (crearea vectorului). Pentru o formulă specifică:

Vidpovid:

Dacă ai mâncat despre dovzhina, atunci se pare că arăți pace - singurătate.

b) Este necesar ca mintea să cunoască zonă un paralelogram bazat pe vectori. Aria acestui paralelogram este numeric superioară creării vectorului:

Vidpovid:

Pentru a arăta respect, că nu există nicio cale de a ocoli bobinatorul vectorial, am fost întrebați despre figuri pătrate vіdpovіdno rozіrnіst - kvadnі odinіtsі.

Mereu minunați-vă de ceea ce este necesar să cunoașteți dincolo de minte clar dovada. Puteți scăpa cu scrisori, litere ale ale în mijlocul vikladachiv vistacha și cu șanse mari să vă întoarceți pentru un tratament suplimentar. Deși raționamentul nu este deosebit de tensionat - dacă nu este corect, atunci există o reacție pe care persoana nu o înțelege în discursuri simple și/sau nu se adâncește în esența sarcinii. În acest moment, trebuie să încercați controlul, virishuyuchi să fie ca zavdannya z matematician și z іnshih subiecte tezh.

Unde a ajuns marea litera „en”? În principiu, її a fost posibil să rămânem la decizie, dar cu metoda de a accelera înregistrarea, nu am omorât-o. I spodіvayus, toate zrozumіlo, scho și tse semnificație a unuia și același.

Un fund popular pentru viziune independentă:

fundul 2

Cunoașteți zona trikutnikului, inspirată de vectori, yakscho

Formula pentru zona tricotului prin vectorul dobutok este dată în comentarii înainte de programare. Soluția este să urmezi exemplul lecției.

De fapt, dressingul este foarte larg, se pot rula cu tricoturi.

Pentru îndeplinirea altor sarcini avem nevoie de:

Puterea vectorului vector creativ

Ne-am uitat deja la liderii autorității de creare a vectorului, îi voi include în listă.

Pentru mai mulți vectori și un număr mai mare sunt valabile următoarele puteri:

1) În alte surse de informare, acest articol nu este auzit de autorități, dar este încă important din punct de vedere practic. Asa ca lasa sa fie.

2) - Power tezh rozіbrano more, іnоdі yogo call anticomutativ. Altfel, aparent, ordinea vectorului poate fi semnificativă.

3) - fericit sau asociativ legile practicii vectoriale. Konstanty acuză perfect creativitatea intervectorului. Într-adevăr, ce trebuie să facă?

4) - rozpodіlnі abo distributiv legile practicii vectoriale. De asemenea, nu există probleme pentru deschiderea cătușei.

Ca o demonstrație, un scurt fund este privit:

fundul 3

Cunoaște-i pe yakscho

Soluţie: Pentru minte, este necesar să cunoască tărâmul creației vectoriale. Să scriem miniatura noastră:

(1) Zgіdno z legile asociative, dăm vina pe constantă pentru crearea intervectorului.

(2) Dăm vina pe constanta inter-module, modul propriu are semnul „minus”. Dovzhina poate fi negativă.

(3) Am înțeles mai departe.

Vidpovid:

A venit ceasul să adăugăm lemne de foc la foc:

fundul 4

Calculați aria șmecherului, inspirat de vectori, ca

Soluţie: Zona trikutnikului este cunoscută prin formulă . Problema este că vectorii „ce” și „de” înșiși sunt reprezentați ca o sumă de vectori. Algoritmul de aici este standard și ghiciți ce, aplicați nr. 3 și 4 la lecție Scalar tvir vector_v. Pentru claritate, soluția este împărțită în trei etape:

1) Pe primul croșetat, putem vedea vectorul tvir prin vectorul tvir, de fapt, virazimo vector prin vector. Despre dozhini încă fără cuvinte!

(1) Reprezentat printr-un număr de vectori.

(2) Legile distributive Vikoristovuyuchi, deschizând arcadele pentru regula înmulțirii termenilor bogați.

(3) Legea asociativă Vikoristovuyuchi, dăm vina pe toate constantele pentru creațiile de intervector. Cu un mic dosvіdі dії 2 і 3 poți câștiga deodată.

(4) În primul rând, restul adăugărilor la zero (vector zero) sunt recompensele de a primi puterea. Un alt addendum are puterea de anticomutativitate a creării vectorului:

(5) Sugerați dodanki similare.

Ca urmare, vectorul a apărut prin vector, ceea ce este necesar pentru a realiza:

2) Într-o altă etapă, vom ști lungimea creării vectorului de care avem nevoie. Tsya deya ghicește fundul 3:

3) Cunoaștem zona ​​​tricutnikului shukan:

Etapele 2-3 soluțiile pot fi finalizate într-un singur rând.

Vidpovid:

Aruncă o privire la sarcina pentru a o face mai largă în roboții de control, axa fundului pentru o variație independentă:

fundul 5

Cunoaște-i pe yakscho

Soluție scurtă genul ăsta de memento al lecției. În mod surprinzător, cât de mult ai fost respectuos față de fundurile din față ;-)

Vector tvіr vectorіv y coordonate

, dat în baza ortonormală , exprimat prin formula:

Formula este foarte simplă: în rândul de sus al semnificantului se scriu vectori de coordonate, pe celălalt și al treilea rând coordonatele vectorilor sunt „stivuite”, în plus, este în ordine strictă- Mai întâi coordonatele vectorului „ve”, apoi coordonatele vectorului „dublu-ve”. Dacă vectorii trebuie înmulțiți într-o ordine diferită, atunci rândurile trebuie reținute ca spații:

fundul 10

Verificați care sunt următorii vectori și spațiu:
A)
b)

Soluţie: Revizuirea se bazează pe unul dintre principiile acestei lecții: deoarece vectorii sunt coliniari, atunci complementul lor vectorial este egal cu zero (vector zero): .

a) Cunoaștem vectorul TV:

În acest mod, vectorii nu sunt coliniari.

b) Cunoaștem vectorul TV:

Vidpovid: a) nu coliniare; b)

Axa, poate, și toate informațiile principale despre crearea vectorială a vectorilor.

Tsej rasdіl bude mic, oskolki zavdan, de vikoristovuetsya zmіshane tvіr vektorіv, nu bogat. Practic, totul se va potrivi în designul, schimbarea geometrică și spratul formulelor de lucru.

Zmіshany tvіr vectorіv – tse tvir triokh vector_v:

Axa miroase atât de mult ca o locomotivă și verificați, nu verificați, dacă sunt încărcate.

Pe ceafă, voi redescoperi acea poză:

Programare: Creat cu creativitate necoplanare vectoriv, luate din ordinul dat, numit obsyag paralepiped, pe baza acestor vectori, cu semnul „+”, deci baza este dreapta, și semnul „–”, deci baza este stânga.

Îi vedem pe cei mici. Liniile invizibile pentru noi sunt încrucișate cu o linie punctată:

Zanuryuёmosya la întâlnire:

2) Luați vectori în ordinea cântecului, așa că permutarea vectorilor în creație, după cum ghiciți, nu trece fără urme.

3) Înainte de aceasta, ca comentariu asupra unei schimbări geometrice, voi afirma un fapt evident: zm_shany tv_r vectorіv є NUMĂR: . În literatura inițială, designul poate fi oarecum diferit, adică sunetul este zmishane tvir through, iar rezultatul este calculat cu litera „ne”.

Pentru programare zmіshany tvіr - tse obsyag paralelepiped, bazat pe vectori (figura este încrucișată cu vectori roșii și linii de culoare negre). Acesta este numărul vechiului obyagu al acestui paralelipiped.

Notă : scaunele sunt scazute.

4) Nu mai încercați să înțelegeți orientarea bazei și a spațiului. Sensul părții finale a celui care poate lua semnul obligatoriu este minus. Cu cuvinte simple, zmishane tvir poate fi negativ: .

Următoarea este o formulă pentru calcularea volumului unui paralelipiped pe baza vectorilor.

Programare. Crearea vectorială a vectorului a pe vectorul b se numește vector, care este notat cu simbolul [«, b] (abo l x b), astfel încât (2) vectorul [a, b) este perpendicular pe vectorii a și b, tobto. perpendicular pe planul acestor vectori; 3) vectorul [a, b] de redresări astfel încât de la capătul vectorului să fie vizibilă cea mai scurtă tură de la a la b, astfel încât să se deseneze săgeata anti-Godinnikov (Fig. 32). Orez. 32 Fig.31 În plus, aparent, vectorii a, b і [а, b) satisfac dreptul trioului de vectori, adică. roztashovani așa, ca un mare, vkazіvny acel deget mijlociu al mâinii drepte. În timp, întrucât vectorii a și b sunt coliniari, vom considera că [a, b] = 0. Pentru lungimea aleasă a creării vectorului, aria Sa a paralelogramului (Fig. 33), pe baza vectorilor care sunt multiplicate, iar i b yak pe laturi: 6.1. Puterea de creare a vectorului 1. Adunarea vectorială la vectorul zero este doar și numai dacă se acceptă unul dintre vectorii, care sunt înmulțiți, є zero sau dacă vectorii sunt coliniari (de exemplu, vectorii a și b sunt coliniari). , apoi є sau 0, sau 7d) . Este ușor de observat că, dacă un vector zero este colinar cu un vector, atunci coliniaritatea vectorilor a și b poate fi scrisă după cum urmează: De fapt, vectorii (a, b) pot avea aceeași valoare și coliniari. Direcții tsikh vectorіv protilezhnі, skіlki z kіntsya vector [а, b] cea mai scurtă viraj de la a la b va fi văzută scho vіdbuєє vіdbєєє vіdbuєє vіdbuєє vіdbєєєє vіdbїєєє vієєїєє vієє vіdіz zіvіz, kіlі ії vіntsya іntsya vector [а, b] tіkіl 34. 3. Tvirul vectorial poate fi rozpodіlnu putere pentru a adăuga 4. Multiplicatorul număr L poate fi acuzat pentru semnul creat de vector 6.2. Vector vitvir vector, coordonate date Fie vectorii și și b dați de coordonatele lor la bază. Koristuyuchis rozpodіlnoyu vіstіvіstu crearea vectorială, știm vectorul dobutok coordonatele date. Zmishane tvir. Notăm crearea vectorială a ortelor de coordonate (Fig. 35): Prin urmare, pentru crearea vectorială a vectorilor a și b, este necesar ca formula (3) să poată fi scrisă în formă simbolică o astfel de formulă (4), care este ușor de reținut, ca și cum ar fi pentru a accelera cea de-a 3-a ordine: Așezați acest vyznachnik pentru elementele din primul rând, luați (4). aplica. 1. Aflați aria paralelogramului, pe baza vectorilor Shukan ai zonei.Se știe că = stele 2. Cunoașteți aria tricutnikului (Fig. 36). S-a înțeles că aria b "d a BAT tricot este jumătatea ariei S a paralelogramului O AC B. Calculând vectorul tvir (a, b | vector_v a \u003d OA și b \u003d ob, este necesar , b ),c) = [a, |b,c)) y este greșit De exemplu, când a = ss j, este posibil [a, 1>] Înmulțirea lui scalar cu vectorul h: (k b), c ) Numărul ([a, b], e) se numește creație mixtă a vectorului a, b. c i se notează prin simbolul (a, 1), e) 7.1 Sensul geometric al creației mixte Să punem vectorii a, b și z puncte care s-au întâmplat (Fig. 37) Ca toate punctele O, A, B, C se află în același plan (vectorii a, b și c sunt numiți coplanari în ce direcție), apoi zmіshane tvіr ([a, b] , c) = 0. Aceasta înseamnă că vectorul [a, b | deci ocularele O, A, B, C nu se află în același plan (vectorii a, b și h sunt necoplanari), ci pe margini. OA, OB și OS paralepipedul (Fig. 38 a). În scopul creării vectorului, putem (a, b) = So, de So - aria paralelogramului OADB și z - un singur vector perpendicular pe vectorii a i b i astfel încât triplul a, b, c au dreptate, adica. vectorii a, b și cu roztashovani vіdpovіdno ca un mare, vkazіvniy și degetul mijlociu al mâinii drepte (Fig. 38 b). Înmulțind partea ofensătoare a restului egalității de pe scalarul drept cu vectorul, este necesar ca vectorul să mărească vectorul în coordonate date. Zmishane tvir. Numărul de rc al înălțimii lui h cauzat de paralelipiped, luat cu semnul „+”, este kut între vectori cu і z hostries (triple a, b, c - dreapta), i зі cu semnul „-” , i , s - leva), deci Tim însuși, zm_shany dobutok vector_v a, b și z este o modalitate bună de a V paralelipiped, indus pe acești vectori yak pe margini, ca triplu a, b, c - dreapta, i -V , ca triplu a, b, c - stânga. Din sensul geometric al creației mixte, puteți crea visnovoks, așa că, înmulțind vectorii a, b și în orice altă ordine, vom lua întotdeauna fie +7, fie -K. Semnul Virob - Fig. 38 Vedennya învechită mai mult decât atât, ca o trinitate de vectori care se înmulțesc, - dreapta sau stânga. Dacă vectorii a, b satisfac triplul drept, atunci triplele b, c, a și c, a, b vor fi și ele corecte. Chiar în acea oră, toți cei trei tripleți b, a, h; a, c, b i c, b, a – stânga. Tim înșine, (a, b, c) = (b, c, a) = (c, a, b) = - (b, a, c) = - (a, c, b) = - (c, b) A). Încă o dată, vă recomandăm să schimbați vectorul tvir într-un zero, dar o singură dată, dacă vectorii a, b, z sunt înmulțiți coplanari: (a, b, z coplanari) 7.2. Modificări ale coordonatelor Fie vectorii a, b, іz având în vedere coordonatele lor în baza i, j, k: a = (x\,y\,z]), b=(x2,y2>z2), c = ( x3, uz, 23). Cunoaștem virazul creației lor mixte (a, b, h). Poate modifica numărul de vectori dat de coordonatele lor în baza i, J, până la, mai aproape de ordinul al treilea, ale căror rânduri sunt pliate în coordonatele primului, celuilalt și al treilea dintre vectori, care sunt înmulțit. Este necesar ca o complanaritate mentală suficientă a vectorilor a y\, Z|), b = (xj Y2. 22), c = (xz, uz, 23) să fie scrisă astfel Y | z, ar2 y2 -2 = 0. Universitatea Aplicată. Verificați că chi sunt vectori coplanari și „ = (7,4,6), b = (2, 1,1), c = (19, II, 17). Vectorii care sunt luați în considerare vor fi coplanari sau necoplanari în pârghie, în plus, adăugăm la zero chi ni vyznachnik Așezându-l în spatele elementelor din primul rând, luăm D \u003d 7- 6- 4- 15 + 6- 3 \u003d 0 ^ - vectorii n, b, h sunt coplanari. 7.3. Glisare vectorială suspendată Glisarea vectorială suspendată [a, [b, c]] este un vector perpendicular pe vectorul a și [b, c]. Prin urmare, vin se află în planul vectorilor b і c і poate fi descompus de vectori. Puteți arăta că formula [a, [!>, c]] = b(a, e) - c(a, b) este valabilă. Dreapta 1. Trei vectori AB \u003d s, Zh? = aproximativ CA = b servesc drept laturi ale tricoutnikului. Virazitatea prin a, b і vectori care parcurg de la medianele AM, DN, CP ale tricotului. 2. Cum vă puteți gândi la modul în care vectorii p și q pot fi conectați, astfel încât vectorul p + q să poată fi împărțit între ei? Se spune că toți cei trei vectori sunt introduși în cob. 3. Calculați lungimea diagonalelor paralelogramului construit pe vectorii a = 5p + 2q și b = p - 3q, presupunând că |p| = 2v/2, | q | = 3H-(p7ci) = f. 4. După ce am desemnat prin a și b laturile rombului care ies din vârful colțului, aduceți ca diagonalele rombului să fie reciproc perpendiculare. 5. Calculați suma scalară a vectorilor a = 4i + 7j + 3k și b = 31 - 5j + k. 6. Găsiți un singur vector a0 paralel cu vectorul a = (6, 7, -6). 7. Aflați proiecția vectorului a = l + j-kHa vector b = 21 - j - 3k. 8. Aflați cosinusul kuta între vectorii IS «x, adică A(-4.0.4), B(-1.6.7), C(1.10.9). 9. Găsiți un singur vector p°, perpendicular la o oră pe vectorul a = (3, 6, 8) și pe axa Ox. 10. Calculați sinusul tăieturii dintre diagonalele paralelofamului, pe baza vectorilor a = 2i+J-k, b=i-3j + k ca pe laturi. Calculați înălțimea h a paralelipipedului, inspirat de vectorii a = 31 + 2j - 5k, b = i-j + 4knc = i-3j + k, care se bazează pe paralelogram, impulsurile pe vectorii a și I). Vіdpovіdі

Programare. Crearea vectorială a vectorului a (multiplicatorul) pe vectorul coliniar yoma (multiplicatorul) este al treilea vector z (tvir), care va fi rangul ofensiv:

1) al-lea modul este numeric egal cu aria paralelogramului din fig. 155);

3) cu ce direcție se aleg vectorii (dintre doi posibili) astfel încât vectorii să se adună la sistemul potrivit (§ 110).

Denumire: abo

Supliment la numire. Deoarece vectorii sunt coliniari, atunci figurile sunt vvazhayuchi її (mental) printr-un paralelogram, atribuite considerabil zonei zero. Prin urmare, complementul vectorial al vectorilor coliniari este egal cu vectorul zero.

Oskіlki null-vector poate fi atribuit dacă este direct, de dragul de a nu superechit punctele 2 și 3 ale misiunii.

Respect 1. În termenul „vector tvir”, primul cuvânt indică pe cei că rezultatul este un vector (spre deosebire de creația scalară; povn. § 104, stima 1).

Aplicație 1. Cunoașteți vectorul TV, vectorii principali și sistemul de coordonate corect (Fig. 156).

1. Fragmentele vectorilor principali sunt egale cu unitățile de scară, apoi aria paralelogramului (pătratului) este numeric egală cu unu. Otzhe, modulul vectorului dobootka este unul mai scump.

2. Oskіlki perpendicular pe axa planului є, apoi sunetul vectorului tvіr є vector, coliniar cu vectorul la; duhoarea mai ofensator poate modulul 1, apoi shukaniy vector dobutok dorіvnyuє sau k, sau -k.

3. Dintre cei doi vectori posibili este necesar să se aleagă pe primul, astfel încât vectorii să facă sistemul dreapta (și vectorii stânga).

Exemplul 2. Cunoașteți vector TV

Soluţie. Ca și capul 1, spunem că vectorul este bun sau k, sau -k. Dar acum trebuie să alegeți -k, astfel încât vectorii să facă sistemul dreapta (și vectorii stânga). Otzhe,

Cap 3. Vectorii pot fi dublați până la 80 și 50 cm și tăiați la 30°. Luând un singur metru ca o singură unitate, cunoașteți valoarea creării unui vector

Soluţie. Aria unui paralelogram bazat pe vectori este bună

Exemplul 4. A cunoaște lungimea creării vectorului este mai liniștit decât vectorii înșiși, luând lungimea unui centimetru ca unitate.

Soluţie. Fragmente din zona paralelogramului, vectori pobudovanogo dorіvnyuє apoi dozhina vector dobutku dorіvnyuє 2000 dive, tobto.

Din succesiunea aplicațiilor 3 și 4, este clar că valoarea vectorului se găsește ca în valoarea multiplicatorilor ale și în alegerea valorii unice a valorii.

Simțul fizic al creării vectorului. Din mărimile fizice numerice care sunt reprezentate de crearea vectorului, putem vedea doar momentul forței.

Fie A punctul de raportare a forței Momentul forței în punctul O se numește vectorul TV Oskilki, modulul acestui vector creație este numeric egal cu aria paralelogramului (Fig. 157), apoi modulul de momentul este complementar cu adăugarea înălțimii, apoi forța, înmulțită cu a doua linie a punctului O până la linia dreaptă vzdovzh kakoї dіє forță.

Trebuie adus la mecanici ca este necesar sa se egaleze un corp solid, ca acesta sa fie egal cu zero ca suma vectorilor, ca si cum fortele aplicate corpului, dar si suma momentelor fortelor. În acest caz, dacă toate forțele sunt paralele cu un plan, plierea vectorilor care reprezintă momente, puteți înlocui adunările acelor module vizibile. Dar pentru forțele mai directe, o astfel de schimbare este imposibilă. În funcție de ce vector tvir îi este atribuit ca vector și nu ca număr.

Vector vitvir- tse pseudovector, perpendicular pe plan, indus de doi spіvmultiplicatori, care este rezultatul operației binare „înmulțirea vectorului” peste vectori din spațiul euclidian trivial. Vector tvir nu are puterea de comutativitate și asociativitate (є anticomutativă) i, pe vіdminu vіd crearea scalară a vectorіv, є vector. Se distinge pe scară largă prin completări tehnice și fizice bogate. De exemplu, impulsul și forța Lorentz sunt scrise matematic ca produs vectorial. Extensia vectorială a corisnyului pentru „inversarea” perpendicularității vectorilor este modulul de creare a vectorului a doi vectori ai extensiei suplimentare a modulelor lor, deoarece acestea sunt perpendiculare, și se schimbă la zero, deoarece vectorii sunt paraleli sau anti- paralel.

Este posibil să se calculeze vectorul într-un mod diferit, iar teoretic, în spațiu, fie că este vorba de dimensionalitatea n, puteți calcula vectorul în n-1 vectori, eliminând un singur vector, perpendicular pe toți. Dar dacă televizorul este înconjurat de creații binare non-triviale cu rezultate vectoriale, atunci televizorul vectorial tradițional este atribuit doar spațiilor triviale și ale șapte-lumi. Rezultatul creării unui vector, ca unul scalar, se află în metrica spațiului euclidian.

Pe de altă parte, formula pentru calcularea coordonatelor obiectului scalar vectorial într-un sistem de coordonate dreptunghiular tridimensional;

Programare:
Complementul vectorial al vectorului a la vectorul b în spațiul R 3 se numește vector c
Lungimea vectorului c
|c|=|a||b|sin φ;
vector c ortogonal cu vectorul piele s a și b;
vectorul c de rectificări astfel încât trinitatea de vectori din abc să fie corectă;
spațiul R7 are nevoie de asociativitatea trioului de vectori a, b, c.
Desemnare:
c===a×b

Orez. 1. Aria paralelogramului este egală cu modulul de creare a vectorului

Puterea geometrică a artei vectoriale:
Coliniaritatea mentală necesară și suficientă a doi vectori non-zero este egalitatea cu zero cu crearea vectorului lor.

Modul creativ vectorial zona dorivnyuє S paralelogram inspirat de vectori reduși la cob Aі b(Div. fig. 1).

Yakscho e- vector unic, vector ortogonal Aі bşi vibranium astfel încât trei a fi- drepturi și S- aria paralelogramului indus pe ele (îndreptând spre cob), atunci următoarea formulă este valabilă pentru crearea vectorului:
=S e

Fig.2. Volumul paralelipipedului cu variația vectorului și crearea scalară a vectorilor; liniile punctate arată proiecțiile vectorului c pe a × b și ale vectorului a pe b × c;

Yakscho c- care vector, π - be-yak flat, scho vengeance tsey vector, e- un singur vector care se află în apropierea planului π eu ortogonal la c,g- un singur vector ortogonal cu planul π iar îndreptarea astfel încât trei vectori ecgє corect, atunci pentru cineva care zace în piață π vector A formula corecta este:
=Pr e a |c|g
de Pr e a este proiecția vectorului e pe a
|c|-modulul vectorului h

Atunci când alegeți un vector și o creație scalară, puteți folosi paralelipipedul, inspirat de vectorii reduși la cob a, bі c. Deci, tvir trei vectori se numesc zmishanim.
V=|a (b×c)|
Cel mic arată că acest lucru se poate face în două moduri: rezultatul geometric este salvat la înlocuirea creațiilor „scalare” și „vectorale” ale subdeceniului:
V=a×b c=a b×c

Mărimea creării vectorului constă în sinusul tăieturii dintre vectorii primari, astfel încât twir-ul vectorial poate fi luat ca trepte de perpendicularitate a vectorului în același mod, așa cum twir-ul scalar poate fi văzut ca pașii paralelismului. . Adăugarea vectorială a doi vectori unici până la 1 (vector unic), precum și vectori și perpendiculari, și până la 0 (vector zero), ca vectori și paraleli sau anti-paraleli.

Viraz pentru crearea de vectori în coordonate carteziene
Yakscho doi vectori Aі b atribuite prin coordonatele lor carteziene dreptunghiulare sau, mai degrabă, reprezentate pe o bază ortonormală
a = (a x, a y, a z)
b = (b x, b y, b z)
iar sistemul de coordonate este corect, atunci vectorul tău tvir poate arăta
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Pentru memorarea formulelor ts_єї:
i = ∑ε ijk a j b k
de ε ijk- un simbol al lui Levi-Chiviti.